Grenzwert einer Folge beweisen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (an)n∈N ⊂ R und beweisen Sie deren Konvergenz

a_{n}:=\frac{2^{n}+n}{\sqrt{n}+2^{n+1}}

Problem/Ansatz:

Über Rumprobieren oder über einen Grenzwertrechner kommt man relativ schnell daraus dass der Limes der Folge \frac{1}{2} ist. Jedoch scheitere ich nun am Beweis, da mir keine sinnvolle Möglichkeit finde eine Ungleichung abzuschätzen für

\left|\frac{2^{n}+n}{\sqrt{n}+2^{n+1}}-\frac{1}{2}\right|<\varepsilon für alle n \geq N

Ich habe bereits versucht die Brüche zusammenzuführen und den exponentiellen Teil im Nenner mit der Bernoulli Ungleichung abzuschätzen, jedoch komme ich nie zu einer Form in der ich ein sinnvoller N in Abhängigkeit von Epsilon setzen kann.

Wäre sehr lieb, wenn mir hier jemand auf die Sprünge helfen könnte.

Answer 1

Mein Freund Wolframalpha löst das wie folgt

Wolframalpha kann auch dein Freund sein.

Answer 2

Kürzen mit 2^n:

(1+n/2^n)/(n^0.5/2^n+2) = (1+0)/(0+2) = 1/2 für n gg. oo