Beweis: für x∈ℕ gilt: 0 ≤ x

Question

Aufgabe:

Ich soll folgendes beweisen:

für x∈ℕ gilt: 0 ≤ x (0 ist die kleinste natürliche Zahl)

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist folgendes. Ich finde die Aussage "einfach logisch", da x ja eine natürliche Zahl ist, und alle natürlichen Zahlen die positiven ganzen Zahlen sind. Also eben quasi 0 und aufwärts.

Nun sind meine Gedanken dazu ja aber lediglich eine (etwas unmathematische) Begründung und ich habe leider keine Ahnung, wie ich daraus einen mathematischen Beweis machen soll.
Ich hatte irgendwie was mit den Peano-Axiomen im Kopf, aber wüsste da auch nicht recht, wo/wie genau ich da ansetzen soll..

Bin um jede Hilfe dankbar!

Answer 1

Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 usw. Je nach Definition kann auch die 0 (Null) zu den natürlichen Zahlen gezählt werden. Zu beweisen ist da nichts.

Comments

Ja, gerade deswegen ist ja mein Problem, dass ich nicht weiß, man es beweisen soll. Und auf dem Übungsblatt steht halt ganz deutlich, dass ich da was beweisen soll..

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Schreib mal die betreffende Passage des Übungsblattes wortgetreu ab. Dann sehen wir weiter.

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Aufgabe 4: Rechenoperationen natürlicher Zahlen 

Beweisen Sie die folgenden Aussagen.

a) Für alle x,y,z ∈ ℕ mit z ≠ 0 gilt: x < y ⇔ x·z < y·z (Monotoniegesetz der Multiplikation)

b) Für x ∈ ℕ gilt: x ≠ 0 ⇒ 0 < x

c) Für x ∈ ℕ gilt: 0 ≤ x (0 ist die kleinste natürliche Zahl)

d) Für x,z ∈ ℕ mit z ≠ 0 gilt: x < x + z

Wobei jetzt natürlich nur c) relevant ist; die anderen habe ich bereits bewiesen.

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Benutze die Peano-Axiome. Dabei ist 0 die einzige natürliche Zahl, die keinen Vorgänger hat. Da alle natürlichen Zahlen einen Nachfolger haben, muss 0 die kleinste natürliche Zahl sein.

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Warum soll die Null keinen Nachfolger haben?

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@mariexbee, die eigentliche Frage ist: Wie habt ihr die natürlichen Zahlen konstruiert? Ich kenne sie als die Menge aller induktiven Teilmengen von |R.

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Irrtum meinerseits korrigiert.

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@Roland:

"Benutze die Peano-Axiome." 

Das ist vermutlich gemeint. Man darf in dem verlangten Beweis also wirklich nur diese wenigen Axiome voraussetzen - und wohl noch die Definition der Kleiner-Relation in der Menge ℕ - und eben gar nichts weiter, was man von sonst woher schon "weiß".

"Dabei ist 0 die einzige natürliche Zahl, die keinen Nachfolger hat."

Nein. Die Null ist die einzige natürliche Zahl, die nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl ist.

Da alle anderen natürlichen Zahlen Nachfolger einer natürlichen Zahl sind, muss 0 die kleinste natürliche Zahl sein.

Dies allein genügt für den Beweis wohl noch nicht. Ich denke, dass man die Behauptung

        0 ≤ x  für alle x ∈ ℕ 

noch mittels des Induktions-Axioms (Peano 5) beweisen muss.

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Vielen Dank euch!

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glaube du bist auch an der Uni Köln in Grundlagen oder?

Wenn du auch da bist, dann hier meine Lösung

Also ich habe mit Seite 25( Skript) gearbeitet mit (1)-(4)

Habe das so geschrieben, aber ka ob es richtig ist:)