Beweis von zwei Brüchen [Kleiner-Gleich]

Question

Aufgabe

Beweis zweier Brüche

Problem/Ansatz:

kann mir jemand bei diesem Beweis weiterhelfen ? Komme echt nicht weiter

x und y sind Reelle zahlen

\( e^{\frac{x+y}{2}} \leq \frac{e^{x}+e^{y}}{2} \)

Answer 1

Betrachte ( e^(x/2) - e^(y/2)  )^2  ≥ 0

==>                e^x - 2e^(x/2)*e^(y/2) + e^y   ≥ 0

==>         e^x + e^y ≥     2e^(x/2)*e^(y/2) = 2 e^((x+y)/2)

==>  (     e^x + e^y )  / 2  ≥   e^((x+y)/2)