Sei M eine Übergangsmatrix.
Eine stabile Verteilung ist eine Verteilung v, für die \( M·v = v \) gilt.
Die Gleichung besagt, das sich die Verteilung von einem Schritt zum nächsten nicht ändert. Eine stabile Verteilung kann bestimmt werden indem obiges Gleichungssystem gelöst wird.
Bei der langfristigen Entwicklung wird nicht unbedingt eine stabile Verteilung gesucht. Stattdessen wird untersucht, wie sich eine bestimmte Anfangsverteilung langfristig entwickelt.
Beispiel:
\(M = \begin{pmatrix} {{3}\over{5}}&0&0&0&0&0\cr[1ex] {{1}\over{20}}&0&{{2}\over{5}}& 0&{{9}\over{10}}&0\cr[1ex] {{1}\over{10}}&{{3}\over{10}}&0&{{1}\over{5}}& 0&0\cr[1ex] {{1}\over{10}}&0&{{3}\over{5}}&0&{{1}\over{10}}&0\cr[1ex] {{1 }\over{20}}&{{7}\over{10}}&0&{{4}\over{5}}&0&0\cr[1ex] {{1}\over{10}}&0&0 &0&0&1\cr[1ex] \end{pmatrix} \)
Stabile Verteilungen sind zum Beispiel
\( \begin{pmatrix} 0\cr[1ex] {{12}\over{35}}\cr[1ex] {{87}\over{700}}\cr[1ex] {{3}\over{28}} \cr[1ex] {{57}\over{175}}\cr[1ex] {{1}\over{10}}\cr[1ex] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\cr[1ex] {{8}\over{35}}\cr[1ex] {{29}\over{350}}\cr[1ex] {{1}\over{14}} \cr[1ex] {{38}\over{175}}\cr[1ex] {{2}\over{5}}\cr[1ex] \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 0\cr[1ex] {{16}\over{105}}\cr[1ex] {{29}\over{525}}\cr[1ex] {{1}\over{21}}\cr[1ex] {{76}\over{525}}\cr[1ex] {{3}\over{5}}\cr[1ex] \end{pmatrix} \)
Rechne im Gegensatz dazu mal für
\(v = \begin{pmatrix} 0\cr[1ex] {{1}\over{10}}\cr[1ex] {{3}\over{10}}\cr[1ex] 0\cr[1ex] 0\cr[1ex] {{3}\over{5}}\cr[1ex] \end{pmatrix} \)
aus, was was M10 · v und M11 · v, M100 · v und M101 · v, M1000 · v und M1001 · v etc. ergeben. Da wirst du nichts stabiles finden.
