Ableitung einer gebrochen rationalen Funktion

Question

Hallo liebe Com, kann sich bitte jemand die Mühe machen und die Funktion f(x)=(2x)/(x^2+1)^2 mittels der Quotientenregel ableiten.

 !

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u=2x ---> u'=2

v=(x^2+1)^2 ---> v'= 2*(x^2+1)^1*2x= 4x*(x^2+1)

Answer 1

f ( x ) = ( 2 x ) / ( x ² + 1 ) ²

u = 2 x

u ' = 2

v = ( x ² + 1 ) ²

v ' = 2 x * 2 * ( x ² + 1 ) = 4 x ( x ² + 1 )

Also:

f ' ( x ) = [ 2 * ( x ² + 1 ) ² - 2 x * 4 x ( x ² + 1 ) ] / ( x ² + 1 ) ⁴

Mit ( x ² + 1 )  kürzen:

= [ 2 * ( x ² + 1 ) - 2 x * 4 x  ] / ( x ² + 1 ) ³

= ( - 6 x ² + 2 ) / ( x ² + 1 ) ³

Answer 2

 

f(x) = 2x / (x² + 1)²

 

(u/v)' = ( u'v - uv' )/v²

u = 2x

u' = 2

v = (x² + 1)² = x⁴ + 2x² + 1

v' = 4x³ + 4x

v² = (x² + 1)⁴

 

Alles einsetzen ergibt

f'(x) = [ 2 * (x² + 1)² - 2x * (4x³ + 4x) ] / (x² + 1)⁴

= [2 * (x² + 1)²] / (x² + 1)⁴ - [8x⁴ - 8x²] / (x² + 1)⁴

= [2 * (x² + 1)²] / (x² + 1)⁴ - 8x² * (x² + 1) / (x² + 1)⁴

= 2 / (x² + 1)² - 8x² / (x² + 1)³

 

Besten Gruß