Betragsungleichung mit 2 Beträgen I x I < I x - 3 I

Question

kann mir jmd. das Ergebnis mit Rechenweg zum Abgleich für diese Aufgabe sagen?

I x I < I x - 3 I

Answer 1

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7C+x+%7C+%3C+%7C+x+-+3+%7C

Fallunterscheidung:

1. x>=3

x<x-3

...

2. 0<=x<3

x< -(x-3)

...

3. x<0

-x< -(x-3)

...

Answer 2

I x I < I x - 3 I

Ich unterstelle x sei reell. Die Ungleichung beschreibt dann die Zahlen auf der Zahlengeraden, die näher an der 0 als an der 3 liegen, also alles unterhalb von 3/2. Gerechnet werden muss da nix.

Comments

In der Schule schon. Ohne Rechenweg keine Punkte. :)

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Ohne Begründung keine Punkte. Der vorliegende Text ist aber mehr als genug Begründung.

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In der Schule schon. Ohne Rechenweg keine Punkte. :)

Das ist verkehrt. Eine Begründung langt völlig aus, es sei denn im Aufgabentext steht berechne.

|x - d| ist ja der Abstand von x zu d

|x| < |x - 3|
|x - 0| < |x - 3|

Der Abstand von x zur 0 muss kleiner sein als der Abstand von x zur 3.

Damit hat az0815 das ausreichend begründet.

Was aber zu beachten ist, das natürlich obwohl man es hier recht einfach begründen kann es günstig wäre es eben zu berechnen, weil Betragsungleichungen eben an solch einfachen Beispielen angefangen wird zu trainieren. Und wenn man diese dann nicht berechnet hat man eventuell später Schwierigkeiten. Also darf man ruhig zur Lösung mehrere Verfahren anwenden, die natürlich alle auf die selbe Lösung führen sollten.

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Aber es ist kein Rechenweg, sondern "nur" eine einleuchtende Begründung.

Verlangt war eine Rechnung.

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Was von der Fragestellung her verlangt ist, muss Jan selbst wissen. D.h. genau Fragestellung beachten.

"kann mir jmd. das Ergebnis mit Rechenweg zum Abgleich für diese Aufgabe sagen?" steht vermutlich nicht so auf seinem Arbeitsblatt.

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Verlangt war eine Rechnung.

Ob in der Aufgabenstellung eine Rechnung gefordert wird wissen wir nicht.

Der Fragesteller hier wollte nur ein Ergebnis mit Rechenweg haben ob er es selber richtig gerechnet hat.

Und ich finde es günstig, wenn man dem Fragesteller darüber hinaus noch alternative Lösungsmöglichkeiten an die Hand gibt.

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Da hast du schon recht. Doch in dem meisten Fällen geht es nicht so einfach wie hier.

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Da hast du schon recht. Doch in dem meisten Fällen geht es nicht so einfach wie hier.

Siehe dazu meinen gesamten Kommentar:

Was aber zu beachten ist, das natürlich obwohl man es hier recht einfach begründen kann es günstig wäre es eben zu berechnen, weil Betragsungleichungen eben an solch einfachen Beispielen angefangen wird zu trainieren. ...

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In welcher Klasse wird das denn trainiert? Und was ist das (Fern-)Ziel? Eine spezielle Prüfung oder so?

Dass man immer wieder mit Abstand und z.B. Pythagoras etwas tun kann, zeigt sich heute gerade bei einer Frage nach einer Äquivalenzrelation. Dort braucht es keine Fallunterscheidungen. Bsp. https://www.mathelounge.de/665553/wie-sehen-aquivalenzklassen-relation-element-von-den-wobei

Answer 3

I x I < I x - 3 I
Da beide Seiten durch das Betragszeichen positiv sind
belibt die Aussage beim Quadrieren auch richtig

x^2 < x^2 - 6x + 9
6x < 9
x < 1.5

Comments

Da beide Seiten durch das Betragszeichen positiv sind
blelbt die Aussage beim Quadrieren auch richtig

Da beide Seiten durch das Betragszeichen ≥0  sind und D=ℝ gilt, 
ist das Quadrieren hier eine Äquivalenzumformung.

Answer 4

\( |x|<|x-3| \)
\( \sqrt{x^{2}}<\left.\sqrt{(x-3)^{2}}\right|^{2} \)
\( x^{2}<(x-3)^{2} \)
\( x^{2}<x^{2}-6 x+9 \)
\( -6 x+9>0 \)
\( -6 x>-9 \mid:(-6) \)
\( x<\frac{3}{2} \)
Probe mit \( x=1 \)
\( |1|<|1-3| \)
\( 1<2 \)