Betragsungleichung mit 2 Beträgen |x+2|+|x-2|<=12

Question

Aufgabe:

Folgende Ungleichung soll ich lösen

|x+2|+|x-2|≤12

Problem/Ansatz:

Ich habe 4 Fallunterscheidungen gemacht.

1. Fall : x+2≥0 ∧ x-2≥0; -2 ≤ x ≥ 2

(x+2)+(x-2)≤12 durch lösen x ≤ 6

Lösungsmenge L₁ = { x≥ -2 ∧ x ≥ 2 ∧ x ≤ 6} = {[2,6]}

2. Fall : x+2<0 ∧ x-2<0; -2 > x < 2

-(x+2)-(x-2)≤12 durch lösen x ≥ -6

Lösungsmenge L2= { x<-2 ∧ x<2 ∧ x ≥-6} = {[-6,-2)}

Der 3. Fall bereitet mir etwas Kopfzerbrechen.

3. Fall : x+2≥0 ∧ x<-2; -2 ≤ x < 2

(x+2)-(x-2)≤12 durch lösen der Ungleichung komme ich auf 4 ≤ 12

Das ist ja eine wahre Aussage.

Meine Lösungsmenge L3 = { x ≥ -2 ∧ x < 2} = {[-2,2)}

Was mache ich mit der 4?

4. Fall : x+2<0 ∧ x-2 ≥ 0; -2 > x ≥ 2

Lösungsmenge L4 = {} da es kein Wert für x gibt der diese Bedingung erfüllt

Comments

Bin jetzt allerdings auch etwas irritiert weil mathef schrieb das alles richtig wäre.

Und ich bin ja auf die selbe Lösung gekommen. Hatte die Vereinigungsmenge der Lösungen leider nicht hingeschrieben, weil es mir vorrangig um den 3. Fall ging. Ist mein Weg jetzt nun komplett falsch oder nur nicht elegant geschrieben?

Answer 1

Hast du nichts aus den Antworten deiner letzten Frage gelernt. Wenn du n Nullstellen in den Beträgen hast kannst du n + 1 Fälle aufstellen. Dir wurde da extra noch der Tipp mit dem Zahlenstrahl gegeben. Wende den ruhig an.

Die Nullstellen innerhalb der Beträge sind hier -2 und +2 daher genügen folgende 3 Fälle:

|x + 2| + |x - 2| ≤ 12

1. Fall: x ≤ -2
- (x + 2) - (x - 2) ≤ 12 → x ≥ -6 → -6 ≤ x ≤ -2

2. Fall: -2 ≤ x ≤ 2
(x + 2) - (x - 2) ≤ 12 → immer wahr → -2 ≤ x ≤ 2

3. Fall: x ≥ 2
(x + 2) + (x - 2) ≤ 12 → x ≤ 6 → 2 ≤ x ≤ 6

Lösung:
- 6 ≤ x ≤ 6

Comments

Doch habe ich aber es wird explizit gewünscht alle 4 Fälle aufzustellen. Auch wenn ein Fall unnötig ist.

---

Und für eure Geduld.

Answer 2

| x + 2 | + | x - 2 | ≤ 12

Ich bin auch schwer enttäuscht von dir

Geh den Weg über den Zahlenstrahl

x + 2 >= 0  => x >= -2
x - 2 >= 0  =>  x >= 2

---------|-----------------|----------------
          -2                   +2

1. x < -2
2. -2 < x < +2
3. x > +2

1,Fall
x <-2
( x + 2 ) und x < -2 => ist negativ und muß ersetzt werden
durch ( x + 2 ) * (-1 )
(  x - 2 ) und x < -2 => ist negativ und muß ersetzt werden
durch ( x - 2 ) *(-1)

( x + 2 ) * (-1 ) + ( x - 2 ) *(-1) ≤ 12
-x - 2 + ( -x + 2 ) ≤ 12
-x - 2 -x + 2  ≤ 12
-2x ≤ 12
x ≥ -6
Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x ≥ - 6 ) und ( x < -2 ) = -6 < x < -2

Frag nach bis alles klar ist.

Answer 3

Alles richtig. Wo verläuft der blaue Graph unterhalb vom roten

(incl.Schnittpunkte) ? Von -6 bis 6.

Das ist auch die Vereinigung deiner 4 Lösungsmengen.

Bei den Intervallen musst du die Mengenklammern { und }

weglassen !

~plot~ abs(x+2);12-abs(x-2);[[-10|10|-10|12]] ~plot~

Answer 4

Es gibt nur 3 Fälle (beachte die Nullstellen der Beträge!)

1.Fall: x<-2

-x-2-x+2 <=12

x>=-6

2.Fall:

-2<=x<2

x+2-x+2<=12

4<= 12 entfällt

3.Fall

x>=2

x+2+x-2<=12

x <=6

-> L = [-6;6]

Answer 5

Hm... $$\left|x+2\right|+\left|x-2\right| \le 12$$ ...schreiben wir das ein wenig um zu.$$-12 \le x+2 + x-2 \le 12$$ und fassen zusammen $$-12 \le 2x \le 12$$ dann können wir durch 2 teilen $$-6 \le x \le 6$$ und uns nun Gedanken über Fallunterscheidungen machen.