f: z → \frac{e-iz -1 + iz}{z2} stetig?

Question

Es ist zu zeigen, dass \(\Large f: \mathbb{C}\backslash \{0\} \to \mathbb{C}, \, z\mapsto \frac{e^{-iz}-1+iz}{z^2}\) stetig ist.

könnte mir jemand vielleicht nur mal den Ansatz/ die Methode nennen, mit der man das beweisen kann? Mein Problem liegt eher darin, dass es die Komplexen Zahlen sind...wie gehe ich denn da vor? einfach mit den Beträgen Arbeiten?

Comments

Du meinst vermutlich \(\Large f: \mathbb{C}\backslash \{0\} \to \mathbb{C}, \, z\mapsto \frac{e^{iz}-1+iz}{z^2}\), richtig?

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nein schon mit Minus im Exponenten...so wies da steht

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Stimmt, sorry. Du meinst \(\Large f: \mathbb{C}\backslash \{0\} \to \mathbb{C}, \, z\mapsto \frac{e^{-iz}-1+iz}{z^2}\). Habe ich reineditiert.

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hier könnte man doch mit den Rechenregeln für stetige Funktionen argumentieren.

Der Zähler ist stetig, da die exp(-iz) stetig ist (Komposition von stetigen Funktionen), -1 ist eine konstante also stetig und -iz ist ebenfalls stetig.

Es gilt für den Nenner: z² ≠ 0 (wegen dem Definitionsbereich), daraus folgt dann die Stetigkeit der Funktion.

Natürlich müsste man hier noch ein paar wichtige Eigenschaften zeigen (z.B. dass für jeden Punkt x∈ ℂ es eine Epsilon Umgebung gibt, sodass y²≠0 für alle |x-y| < Epsilon, etc.) um zu zeigen, dass man hier die Rechenregeln anwenden kann.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!

LG