Question

Auf R sei eine Operation durch x ◦ y = x + 3y gegeben.
(a) Ist diese Operation assoziativ?
(b) Ist diese Operation kommutativ?
(c) Existiert ein neutrales Element?

Ich stehe gerade irgendwie komplett auf dem Schlauch. Eigentlich ist die Aufgabe recht einfach, aber irgendwie fehlt mir gerade der Ansatz.

Könnte mir bitte jemand helfen?

Answer 1

x ◦ y = x + 3y

Ist diese Operation assoziativ? Du musst nur vergleichen

(x ◦ y)  ◦ z   mit   x ◦ (y  ◦ z)  . Also los:

(x ◦ y)  ◦ z  = ( x + 3y) ◦ z  =  ( x + 3y) + 3z

  x ◦ (y  ◦ z)  =  x ◦  (y+3z) = x +3(y+3z) = x+3y + 9z

Also ist z.B.   (0 ◦ 0)  ◦ 1   = 3 ≠    0 ◦ (0  ◦ 1)  =9

==>  ◦  nicht assoziativ.

 

Comments

Super, danke. Könntest du mir vielleicht noch erklären, wo du die 3 für das z her hast?

( x + 3y) ◦ z  =  ( x + 3y) + 3z und x ◦  (y+3z) = x +3(y+3z) = x+3y + 9z 

Erschließt sich für mich noch nicht

Answer 2

Aloha :)

Die Operation \(\circ\) ist definiert durch: \(x\circ y=x+3y\). Wir prüfen die Eigenschaften aus der Aufgabenstellung ab.

zu a) Assoziativität:$$(a\circ b)\circ c=(a+3b)\circ c=(a+3b)+3c=a+3b+3c$$$$a\circ(b\circ c)=a\circ(b+3c)=a+3(b+3c)=a+3b+9c$$$$\Rightarrow\quad\text{im Allgemeinen gilt:}\quad (a\circ b)\circ c\ne a\circ(b\circ c)$$$$\Rightarrow\quad\text{nicht assoziativ}$$

zu b) Kommutativität:$$a\circ b=a+3b\quad;\quad b\circ a=b+3a$$$$\Rightarrow\quad\text{im Allgemeinen gilt:}\quad a\circ b\ne b\circ a$$$$\Rightarrow\quad\text{nicht kommutativ}$$

zu c) Existenz eines neutralen Elements \(n\):$$a\stackrel{!}{=}a\circ n=a+3n\quad\Leftrightarrow\quad 3n=0\quad\Leftrightarrow\quad n=0$$$$a\stackrel{!}=n\circ a=n+3a\quad\Leftrightarrow\quad n=-2a$$$$\Rightarrow\quad\text{Es gibt kein neutrales Element.}$$