Differentialgleichung 2. Ordnung, inhomogen, linear

Question

y'' (x) + y' (x) + 2y (x) = x² - 1

 

Die allgem. Lösung hab ich schon berechnet:

 

e^-0,5x * (C1 * cos(√1,75)x + C2 * sin(√1,75)x)

 

Die Störfunktion ist doch: g(x) = x² - 1

Anfangsbedingungen lauten:

y(0) = 1

y'(0) = 0

 

Wie mach ich mit der Störfunktion weiter?

Dankeschön :)
 

Answer 1

Hi,

ich würde dem mit dem "rechte-Seite-Ansatz" beikommen ;).

Dieser lautet hier y = ax^2+bx+c

y' = 2ax+b

y'' = 2a

Also:

2a + 2ax+b + 2(ax^2+bx+c) = x^2-1

2a + 2ax+b + 2ax^2+2bx+2c = x^2-1

2ax^2 + (2a+2b)x + (2a+b+2c) = x^2 - 1

 

Es muss also gelten (Koeffizientenvergleich):

2a = 1

2a+2b = 0

2a+b+2c = -1

a = 1/2, b = -1/2, c = -3/4

 

Damit also die allgemeine Lösung:

y = e^-0,5x * (C1 * cos(√(1,75)x) + C2 * sin(√(1,75)x)) + 1/2x^2-1/2x-3/4

 

Anfangsbedingung eingesetzt:

C1 = 49/28

C2 = 11/28*√7

 

Grüße

Comments

Maaah danke danke danke :) vielen Dank!

jetzt Check ich das schon a bissi mehr..

Das einzige was ich jetzt noch nicht verstanden hab ist wie du von den Anfangsbedingungen auf C1 und C2 gekommen bist..

könntest du das vielleicht noch beschreiben? Das wäre echt Super nett ;)

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Du hast y(0)=1 und y'(0)=0 gegeben.

D.h. Du musst Deine Lösung noch ableiten, dann kannst Du die Anfangsbedingungen einsetzen.

D.h. für y(0)=1 setzt Du in die Lösung für x einfach 0 ein und sorgst dafür, dass das insgesamt 1 gibt.

ür y'(0)=0 musst Du wie gesagt noch ableiten, dann aber gleiches Spiel. Du hast dann zwei Gleichungen und zwei Unbekannte -> Lösen ;).


Alles klar (die Ableitungen sind etwas aufwendiger, weswegen ich das Dir überlasse. Die sind klar oder?)

Sonst melde Dich nochmals ;).


Grüße

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Ahhh super danke, jetzt versteh ichs :)

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Ich schaff nur grad die Ableitung nicht :/

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;)

Ich lasse mal die letzten drei Summanden weg. Die sollten klar sein:

y = e^-0,5x * (C1 * cos(√(1,75)x) + C2 * sin(√(1,75)x))

= e^-0,5x*C1*cos(√(1,75)x) + e^-0,5x*C2 * sin(√(1,75)x)

Nun die Produktregel:

y' = -0,5e^{-0,5x}C1*cos(√(1,75)x) + e^{-0,5x}*C1*(-sin(√(1,75)x)*√(1,75))

+ (-0,5e^{-0,5x}C2*sin(√(1,75)x) + e^{-0,5x}*C2*(cos(√(1,75)x)*√(1,75)))

 

D.h. ich habe erstmal die eigentlich Funktion ausmultipliziert und dann die Produkt- und Kettenregel vewendet.

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Danke das ist unglaublich nett von dir :)

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Kein Ding ;).