Binomialkoeffizient mit Summenzeichen Rechenregeln unklar.

Question

Aufgabe:

\( \sum \limits _{k=-1}^{n-1}\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)=\quad \sum \limits _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{n} \\ {-1}\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Kann mir irgendwer die Rechenregeln nennen, die hier verwendet wurden? Ich weiß nur, dass beim Verschieben des Indexes "n über k-1" rauskommen müsste... aber woher kommt der Rest?

Answer 1

Aloha :)

$$\sum\limits_{k=-1}^{n-1}\binom{n}{k}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}+\binom{n}{-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}+\underbrace{\binom{n}{n}-\binom{n}{n}}_{=0}+\binom{n}{-1}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=-1}^{n-1}\binom{n}{k}}=\underbrace{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}+\binom{n}{n}}_{=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}}-\binom{n}{n}+\binom{n}{-1}=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}-\binom{n}{n}+\binom{n}{-1}$$

Comments

Hui, vielen lieben Dank :3