Vektor v ∈ Z³: Die erste Komponente ist das Doppelte der zweiten Komponente usw. Macht das Sinn?

Question

Aufgabe:

Macht diese Aufgabe Sinn? Und was kommt raus?

Gesucht sei der Vektor v ∈ Z³ der Folgende Bedingungen erfüllt: Die erste Komponente ist das Doppelte der zweiten Komponente, v steht senkrecht auf dem Vektor w = (-4031, 2002, 9) und das Skalarprodukt von v mit sich selbst ergibt 4080445. Das Skalarprodukt von v mit dem Einheitsvektor e1 addiert mit dem Skalarprodukt von v mit dem Einheitsvektor e2 ist größer als 0.

Problem/Ansatz:

Ich habe diese Aufgabe zusammen mit einem Freund für einen Geburtstag erstellt. Macht sie Sinn? Und was kommt bei euch heraus?

Vielen Dank schonmal im Voraus :)

Answer 1

Das Ganze krankt aber wohl daran, dass Z^3 kein Vektorraum,

(zumindest kein ℝ-Vektorraum) ist.

Answer 2

Die erste Komponente ist das Doppelte der zweiten Komponente,

v=\( \begin{pmatrix} 2a\\a\\b \end{pmatrix} \)

v steht senkrecht auf dem Vektor w = (-4031, 2002, 9)

(1) \( \begin{pmatrix} 2a\\a\\b \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} -4031\\2002\\9 \end{pmatrix} \) =0

und das Skalarprodukt von v mit sich selbst ergibt 4080445.

(2) \( \begin{pmatrix} 2a\\a\\b \end{pmatrix} \) ^{^2}=4080445

Das sind zwei Gleichungen mt zwei Unbekannten.

Wegen der Wahl der Zahlen möchte ich das nicht ausrechnen.