Zeigen Sie mit Hilfe des zweiten hinreichenden Kriteriums für Extremstellen, dass die doppelte Nullstelle u eine …

Question

Aufgabe:

Wenn eine Funktion f in der Form f(x) = (x – u)² . h(x) mit h(u) = 0 faktorisiert werden kann, so nennt man den x-Wert u eine zweifache oder doppelte Nullstelle der Funktion f. Es seien f und h zweimal differenzierbar in der doppelten Nullstelle u. Zeigen Sie mit Hilfe des zweiten hinreichenden Kriteriums für Extremstellen, dass die doppelte Nullstelle u eine Extremstelle von f ist.

Comments

Zeigen Sie mit Hilfe des zweiten hinreichenden Kriteriums

Welches Kriterium hat bei euch die Nummer 2 erhalten?

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f‘‘(x)<oder>0

Answer 1

f‘‘(x)<oder>0

Also brauchst du die erste und zweite Ableitung. Aus
f(x) = (x – u)² . h(x) folgt nach Produkt-und Kettenregel

f'(x)=2(x-u) ·h(x) + (x-u)²·h'(x) = (x-u)( 2·h(x) + (x-u)·h'(x))

Da u eine Nullstelle ist, ist der ausgeklammerte Faktor (x-u) und damit auch die gesamte erste Ableitung tatsächlich 0.

Leite nun  f'(x)=(x-u)( 2·h(x) + (x-u)·h'(x)) erneut ab und zeige, dass die so gebildete zweite Ableitung an der Stelle u NICHT 0 ist.

Übrigens: stimmt das so

Wenn eine Funktion f in der Form f(x) = (x – u)² . h(x) mit h(u) = 0

oder sollte da eigentlich h(u) ≠ 0 stehen?