Vollständige Induktion mit 2 Variablen

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für alle n ∈N gilt:

$$\forall n \in \mathbb{N}: \prod \limits_{k=1}^{n} (1 + \frac{1}{n+k}) = (2 - \frac{1}{n+1})$$

Problem/Ansatz:

Ich lasse den Induktionanfang mal Weg. Der ist für mich klar.

Im Induktionsschritt komme ich allerdings nicht weiter. Ich bin mir nicht sicher was ich für k einsetzen muss. Habe schon 1 und n+1 versucht, kam aber leider zu keinem Ergebnis.

Mein Ansatz:

$$(2 - \frac{1}{n+k}) * (1 + \frac{1}{(n+1)+1})$$

Answer 1

Aloha :)

Im Induktionsschritt empfehle ich zuerst eine Indexverschiebung nach oben:$$\prod\limits_{k=1}^{n+1}\left(1+\frac{1}{(n+1)+k}\right)=\prod\limits_{k=2}^{n+2}\left(1+\frac{1}{(n+1)+(k-1)}\right)=\prod\limits_{k=2}^{n+2}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)$$Jetzt kann man die obersten beiden Faktoren separat schreiben:$$=\left(1+\frac{1}{n+(n+2)}\right)\left(1+\frac{1}{n+(n+1)}\right)\prod\limits_{k=2}^{n}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)$$$$=\frac{2n+3}{2n+2}\cdot\frac{2n+2}{2n+1}\cdot\prod\limits_{k=2}^{n}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)=\frac{2n+3}{2n+1}\cdot\prod\limits_{k=2}^{n}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)$$Um den unteren Index von \(k=1\) starten zu lassen, "erweitern" wir mit \(\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\):$$=\frac{2n+3}{2n+1}\cdot\left[\prod\limits_{k=2}^{n}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\right]:\left(1+\frac{1}{n+1}\right)$$$$=\frac{2n+3}{2n+1}\cdot\prod\limits_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{n+k}\right):\frac{n+2}{n+1}$$Jetzt können wir die Induktionsvoraussetzung verwenden:$$=\frac{2n+3}{2n+1}\cdot\left(2-\frac{1}{n+1}\right)\cdot\frac{n+1}{n+2}=\frac{2n+3}{2n+1}\cdot\frac{2n+1}{n+1}\cdot\frac{n+1}{n+2}=\frac{2n+3}{n+2}$$$$=\frac{2n+4-1}{n+2}=2-\frac{1}{n+2}\quad\checkmark$$

Answer 2

Ind.Ann.:

(1+\( \frac{1}{n+1} \))(1+\( \frac{1}{n+2} \))...(1+\( \frac{1}{2n-2} \))(1+\( \frac{1}{2n-1} \))(1+\( \frac{1}{2n} \))=(2-\( \frac{1}{n+1} \))

Ind.Schritt:n→n+1

(1+\( \frac{1}{n+2} \))(1+\( \frac{1}{n+3} \))...(1+\( \frac{1}{2n} \))(1+\( \frac{1}{2n+1} \))(1+\( \frac{1}{2n+2} \))=x

(1+\( \frac{1}{n+1} \))(1+\( \frac{1}{n+2} \))(1+\( \frac{1}{n+3} \))...(1+\( \frac{1}{2n} \))(1+\( \frac{1}{2n+1} \))(1+\( \frac{1}{2n+2} \))=(1+\( \frac{1}{n+1} \))x

(1+\( \frac{1}{n+1} \))(1+\( \frac{1}{n+2} \))(1+\( \frac{1}{n+3} \))...(1+\( \frac{1}{2n} \))(1+\( \frac{1}{2n+1} \))(1+\( \frac{1}{2n+2} \))=(1+\( \frac{1}{n+1} \))x

(2-\( \frac{1}{n+1} \))(1+\( \frac{1}{2n+1} \))(1+\( \frac{1}{2n+2} \))=(1+\( \frac{1}{n+1} \))x

(\( \frac{2n+1}{n+1} \))(\( \frac{2n+2}{2n+1} \))(\( \frac{2n+3}{2n+2} \))=(\( \frac{n+2}{n+1} \))x

(2n+3)=(n+2)x

x=(\( \frac{2n+3}{n+2} \))=(\( \frac{2n+4-1}{n+2} \))=(2-\( \frac{1}{n+2} \))=(2-\( \frac{1}{(n+1)+1} \))  q.e.d.