Vollständige Induktion mit zwei Variablen.

Question

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

a und b seien verschiedene reelle Zahlen. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für jede natürliche Zahl Folgendes gilt:

n

∑ a^k * b^{n-k} = (a^{n+1} - b^{n+1}) ÷ (a-b)

k=0

Ich weiß nicht, wie ich damit umgehen soll, dass n auch in der Summe vorkommt.

Answer 1

Zu zeigen:
Σ (k = 0 bis n) (a^k·b^{n - k}) = (a^{n + 1} - b^{n + 1})/(a - b)

Induktionsanfang: n = 0
Σ (k = 0 bis 0) (a^k·b^{n - k}) = (a^{0 + 1} - b^{0 + 1})/(a - b)
a^0·b^{0 - 0} = (a^{0 + 1} - b^{0 + 1})/(a - b)
1 = 1
stimmt

Induktionsschritt: n --> n + 1
Σ (k = 0 bis n + 1) (a^k·b^{n + 1 - k}) = (a^{n + 2} - b^{n + 2})/(a - b)
Σ (k = 0 bis n) (a^k·b^{n + 1 - k}) + (a^{n + 1}·b^{n + 1 - (n + 1)}) = (a^{n + 2} - b^{n + 2})/(a - b)
Σ (k = 0 bis n) (a^k·b·b^{n - k}) + a^{n + 1} = (a^{n + 2} - b^{n + 2})/(a - b)
b·(a^{n + 1} - b^{n + 1})/(a - b) + a^{n + 1} = (a^{n + 2} - b^{n + 2})/(a - b)
b·(a^{n + 1} - b^{n + 1}) + a^{n + 1}·(a - b) = a^{n + 2} - b^{n + 2}
a^{n + 1}·b - b^{n + 2} + a^{n + 2} - a^{n + 1}·b = a^{n + 2} - b^{n + 2}
a^{n + 2} - b^{n + 2} = a^{n + 2} - b^{n + 2}
stimmt

Answer 2

Hallo

 k ist ja keine Variable sondern nur ein Laufindex, also läuft deine Induktion nur über n.

sobald ud die Summe ausschreibst siehst du, dass da kein k vorkommt!

Anfang: n=0: a⁰*b⁰=(a-b)/(a-b) also 1*1=1 richtig.

wenn man mit ner induktion nicht in Gang kommt kann man immer mal versuchen wie komm ich von n=1 zu n=2 zu n=3.

Gruß lul