Vollständige Induktion von zwei offenen Summenformeln.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Für alle natürlichen Zahlen \( n \) gilt die Gleichung
$$ \sum \limits_{k=n+1}^{2 n} \frac{1}{k}=\sum \limits_{k=1}^{2 n}(-1)^{k+1} \frac{1}{k} $$

Problem/Ansatz:

Hallo,

leider hab ich keinen wirklichen Ansatz. Bisher habe ich nur Vollständige Induktion mittels einer "offenen" Summenformel = geschlossenen Summenformel gelöst. Hab nach einer geschlossenen gesucht aber keine Gefunden.

Vielen Dank

Answer 1

Der Induktionsanfang mit \( n = 1 \) sollte klar sein, oder? $$ \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} = \frac{1}{2} $$ für \( n = 1 \) und $$ \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} = \frac{1}{2}  $$ ebenfalls.

Jetzt gilt $$ \sum_{k=n+2}^{2(n+1)} \frac{1}{k} = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} - \frac{1}{n+1} +\frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} = \\ \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} +\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} = \sum_{k=1}^{2(n+1)} (-1)^{k+1} \frac{1}{k}  $$

Answer 2

Induktionsanfang: n = 1

Σ (k = 1 + 1 bis 2·1) (1/k) = Σ (k = 1 bis 2·1) ((-1)^(k + 1)·1/k)
1/2 = (-1)^(1 + 1)·1/1 + (-1)^(2 + 1)·1/2
1/2 = 1/2


Induktionsschritt: n → n + 1

Σ (k = (n + 1) + 1 bis 2·(n + 1)) (1/k)
= Σ (k = n + 2 bis 2·n + 2) (1/k)
= Σ (k = n + 1 bis 2·n) (1/k) - 1/(n + 1) + 1/(2·n + 1) + 1/(2·n + 2)
= Σ (k = 1 bis 2·n) ((-1)^(k + 1)·1/k) - 1/(n + 1) + 1/(2·n + 1) + 1/(2·n + 2)
= Σ (k = 1 bis 2·n) ((-1)^(k + 1)·1/k) - 2/(2·n + 2) + 1/(2·n + 1) + 1/(2·n + 2)
= Σ (k = 1 bis 2·n) ((-1)^(k + 1)·1/k) + 1/(2·n + 1) - 1/(2·n + 2)
= Σ (k = 1 bis 2·n + 2) ((-1)^(k + 1)·1/k)
= Σ (k = 1 bis 2·(n + 1)) ((-1)^(k + 1)·1/k)