Vollständige Induktion von zwei Ungleichungen mit Summen und Produkt.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass für alle n ∈ ℕ und alle positiven \(x_1,...,x_n ∈ \mathbb{R}\) gilt
\(\frac{n}{\frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{x_n}}\leq\sqrt[n]{x_1\cdot ... \cdot x_n}\leq\frac{x_1+...+x_n}{n}\).

Den Induktionsanfang mit n=1 habe ich hinbekommen. Da habe ich erhalten: \(x_1\leq x_1\leq x_1\) was in jedem Fall gilt.
Mein Problem ist der Induktionsschritt mit \(n→n+1\). Da fehlt mir jeglicher Ansatz.

Als Hinweis wurde gegeben diese Aufgabe zu verwenden, die bereits bewiesen wurde: 

Es sei K ein angeordneter Körper.
(a) Es seien x, y ∈ K mit x ≤ 1 ≤ y. Beweisen Sie x + y ≥ 1 + xy.
(b) Es seien \(x_1,...,x_n∈K\) nichtnegativ mit \(\prod \limits_{i=1}^{n}x_i=1\).
Beweisen Sie \(\sum \limits_{i=1}^{n}x_i\geq n\).
Hinweis: Nutzen Sie Induktion über n. Um die Aussage für n+1 zu zeigen, können
Sie ohne Einschränkung \(x_n ≤ 1\) und \(x_n+1 ≥ 1\) annehmen (warum?), und dann die
Induktionsvoraussetzung auf die Elemente \(x_1, x_2,..., x_{n−1}, x_nx_{n+1}\) anwenden.

Answer 1

Seien \(\displaystyle a_1=\frac{x_1}{\sqrt[n]{x_1\cdot...\cdot x_n}},...,a_n=\frac{x_n}{\sqrt[n]{x_1\cdot...\cdot x_n}}\).

\(\displaystyle a_1\cdot...\cdot a_n=\frac{x_1\cdot...\cdot x_n}{\sqrt[n]{x_1\cdot...\cdot x_n}^n}=\frac{x_1\cdot...\cdot x_n}{x_1\cdot...\cdot x_n}=1\)

\(\displaystyle\Longrightarrow\frac{x_1}{\sqrt[n]{x_1\cdot...\cdot x_n}}+...+\frac{x_n}{\sqrt[n]{x_1\cdot...\cdot x_n}}\geq n\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\frac{x_1+...+x_n}n\geq\sqrt[n]{x_1\cdot...\cdot x_n}\)

Seien nun \(\displaystyle a_1=\frac{\sqrt[n]{x_1\cdot...\cdot x_n}}{x_1},...,a_n=\frac{\sqrt[n]{x_1\cdot...\cdot x_n}}{x_n}\).

\(\displaystyle a_1\cdot...\cdot a_n=\frac{\sqrt[n]{x_1\cdot...\cdot x_n}^n}{x_1\cdot...\cdot x_n}=\frac{x_1\cdot...\cdot x_n}{x_1\cdot...\cdot x_n}=1\)

\(\displaystyle\Longrightarrow\frac{\sqrt[n]{x_1\cdot...\cdot x_n}}{x_1}+...+\frac{\sqrt[n]{x_1\cdot...\cdot x_n}}{x_n}\geq n\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\frac1{x_1}+...+\frac1{x_n}\geq\frac n{\sqrt[n]{x_1\cdot...\cdot x_n}}\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\frac{\dfrac1{x_1}+...+\dfrac1{x_n}}n\geq\frac1{\sqrt[n]{x_1\cdot...\cdot x_n}}\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\frac n{\dfrac1{x_1}+...+\dfrac1{x_n}}\leq\sqrt[n]{x_1\cdot...\cdot x_n}\)

\(\displaystyle\Longrightarrow\frac n{\dfrac1{x_1}+...+\dfrac1{x_n}}\leq\sqrt[n]{x_1\cdot...\cdot x_n}\leq\frac{x_1+...+x_n}n\)

Comments

Danke. EDIT: In Antwort umgewandelt.