Ungleichungen: Wie geht man es an, wenn aus den zwei Brüchen eine quadratische Gleichung wird?

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die Ungleichung

\( \frac{3x+2}{x-2} \) < \( \frac{4x+1}{x-1} \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Sache mit den Lösungsmengen einfach nicht. Wie geht man das an, wenn aus den zwei Brüchen eine quadratische Gleichung wird?

Im ersten Fall betrachte ich den Bereich x<1, erhalte aber ein Ergebnis von x1/2= 3+/-\( \sqrt{3} \).

Was mache ich falsch?

Answer 1

Hallo,

Wie geht man das an, wenn aus den zwei Brüchen eine quadratische Gleichung wird?

indem man im ersten Schritt die Brüche durch Multiplizieren mit dem Hauptnenner die Brüche beseitigt$$\begin{aligned} \frac{3x+2}{x-2} &\lt \frac{4x+1}{x-1} &&|\, x \gt 2 \lor x \lt 1\\ (3x+2)(x-1) &\lt (4x+1)(x-2)\\ 3x^2-x-2 &\lt 4x^2-7x - 2 \\ 0 &\lt x^2 - 6x\\ 0 &\lt x(x-6) \end{aligned}$$Da es eine Ungleichung ist, muss man das Vorzeichen des Hauptnenners beachten. In diesem Fall ist das Produkt \((x-2)(x-1)\) genau dann positiv, wenn beide Faktoren positiv sind - also \(x \gt 2\) ist - oder beide Faktoren negativ sind - also \(x \lt 1\) ist.

Da hier der konstante Part raus fällt, reicht es aus, das \(x\) auszuklammern. Die Gleichung $$0 \lt x(x-6) \implies x \lt 0 \lor x \gt 6$$ist genau dann erfüllt, wenn \(x\lt0\) oder \(x\gt6\) ist. Und da dies der Voraussetzung \(x \gt 2 \lor x \lt 1\) nicht widerspricht, ist das auch der erste Teil der Lösungsmenge $$\mathbb L_1 = \{x \in \mathbb R:\space x\lt0 \lor x\gt6\}$$Liegt das \(x\) zwischen \(1\) und \(2\), ist der Hauptnenner negativ und der \(\lt\)-Operator muss gedreht werden. Die Rechnung bleibt die gleiche$$\begin{aligned} \frac{3x+2}{x-2} &\lt \frac{4x+1}{x-1} &&|\, 1 \lt x \lt 2\\ (3x+2)(x-1) &\gt (4x+1)(x-2)\\ 0 &\gt x(x-6) \end{aligned}$$und dies wäre genau dann erfüllt, wenn \(x\) zwischen 0 und 6 liegt. Dieser Bereich wird aber durch die Definitionsmenge eingeschränkt. Es bleibt$$\mathbb L_2 = \{x \in \mathbb R:\space 1 \lt x \lt 2\}$$

~plot~ (3x+2)/(x-2);(4x+1)/(x-1);x=6;[[-12|15|-9|16]];x=1;x=2 ~plot~

schau Dir im Graphen die jeweiligen Bereiche an. Zur Lösungsmenge \(\mathbb L = \mathbb L_1 \cap \mathbb L_2\) gehören alle Werte von \(x\), bei denen der blaue Graph unterhalb des roten verläuft.

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Dankeschön <3

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Lieber Werner,

wie löse ich solche Aufgaben, wenn ich DREI Brüche habe und eine kubische Gleichung entsteht, sobald ich versuche zwei Brüche zusammen zu fassen?

\( \frac{x}{1-x} \) - \( \frac{2}{x²-1} \) ≤ \( \frac{3}{x+1} \)

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Der Hauptnenner ist x²-1=(x-1)(x+1). Da entsteht keine kubische Gleichung.

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Daran habe ich gar nicht gedacht. Danke.

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Ich komme da leider trotzdem nicht weiter.

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Ich komme da leider trotzdem nicht weiter.

wäre natürlich von Vorteil (auch für Dich!) zu wissen, wo genau Du nicht weiter kommst.

Im ersten Schritt betrachte ich den Fall, dass \(x^2-1\gt 0\) ist. Dann ist \(|x|\gt 1\)$$\begin{aligned} \frac{x}{1-x} - \frac{2}{x²-1} &\le \frac{3}{x+1} &&|\, |x| \gt 1\\ -x(x+1) - 2 &\le 3(x-1)\\ -x^2-x - 2 &\le 3x-3 \\ 0 &\le x^2 +4x - 1\\ 0 &\le x^2+4x + 4-4-1\\ 0 &\le (x+2)^2 - 5 \\ 5 &\le (x+2)^2\\ \sqrt 5 &\le |x+2| \end{aligned}$$hier unterscheidet man wieder zwei Fälle. Zum einen den Fall, dass \(x+2\ge 0\) ist, dann muss \(x \ge \sqrt 5 -2\) sein, um die Ungleichung zu erfüllen. Aber da auch \(|x| \gt 1\) sein muss und der Term  \(\sqrt 5 -2 \lt 1\) ist, bleibt davon nur \(x\gt1\) übrig.

Im zweiten Fall kann \(x+2 \lt 0\) sein. Dann wird daraus$$\begin{aligned} \sqrt 5 &\le -(x+2)  &&|\, x \lt -2\\ 2+\sqrt 5 &\le -x \\ x &\le -(2+\sqrt 5)\\ \end{aligned}$$aus beiden Fällen zusammen ergibt sich der erste Teil \(\mathbb L_1\) der Lösungsmenge$$\mathbb L_1 = \{x\in \mathbb R:\, x \gt 1 \lor x \le -(2+\sqrt 5)\}$$bleibt noch \(|x| \lt 1\) zu untersuchen. Die Umwandlung der Terme ändert sich nicht$$\begin{aligned} \frac{x}{1-x} - \frac{2}{x²-1} &\le \frac{3}{x+1} &&|\, |x| \lt 1\\ -x(x+1) - 2 &\ge 3(x-1)\\ \sqrt 5 &\ge |x+2| \end{aligned}$$Wieder die beiden Fälle: 1.Fall \(x+2\ge0\); daraus folgt \(x \le \sqrt 5 -2\). Zusammen mit \(|x|\lt 1\) wird daraus \(\mathbb L_2\)$$\mathbb L_2= \{x \in \mathbb R:\, -1 \lt x \le \sqrt 5 -2\}$$Der 2.Fall \(x+2\lt0\) entfällt, da \(x \lt -2\) der Voraussetzung \(|x| \lt 1\) widerspricht.

Also ist die komplette Lösung$$\mathbb L = \{x\in \mathbb R:\, x \le -(2+\sqrt 5) \lor-1\lt x \le \sqrt 5-2 \lor 1 \lt x\}$$Tipp: wenn Du so etwas rechnest überprüfe alle Ergebnisse - auch die Zwischenergebnisse - immer mit dem Verlauf der Graphen

~plot~ x/(1-x)-2/(x^2-1);3/(x+1);x=1;x=-1;x=sqrt(5)-2;[[-8|8|-6|6]] ~plot~

Die Ungleichung ist immer erfüllt, wenn der blaue Graph unterhalb des roten liegt. Die gelbe Senkrechte steht für \(x=\sqrt 5 -2\).