Aber es soll anscheinend von 0 bis 7 sein. Wie mache ich es?
Das kommt zunächst mal darauf an, ob die Ungleichung
$$\frac{x+7}{x} +1 \lt 3$$ oder
$$\frac{x+7}{x} +1 \gt 3$$ lautet? Im zweiten Fall (also mit dem \(\gt\)-Zeichen) wäre die Lösungmenge tatsächlich \(0 \lt x \lt 7\). Ich gehe mal von diesem Fall aus und ziehe erst mal 1 ab:
$$\frac{x+7}{x} \gt 2$$ Bei der Multiplikation mit \(x\) muss man zwei Fälle unterscheiden. 1.Fall: \(x \gt 0\) - dann ist
$$x+7 \gt 2x \quad \Rightarrow x \lt 7$$ zusammen mit der Vorbedingung \(x \gt 0\) erhält man als Teillösung:
$$0 \lt x \lt 7$$
2.Fall \(x \lt 0\) - dann muss man bei der Multiplikation mit \(x\) das \(\gt\) zum \(\lt\) machen
$$x+7 \lt 2x \quad \Rightarrow x \gt 7$$ dies steht aber im Widerspruch zur Vorbedingung \(x \lt 0\). D.h. diese Teillösung ist leer. Es bleibt bei der obigen Teillösung.
Das ganze noch mal als Plot
~plot~ ((x+7)/x)+1;3;[[-6|+10|-2|20]] ~plot~
nur im Intervall \((0 \dots 7)\) liegt die blaue Kurve (\(y=(x+7)/x + 1\)) über der roten (\(y=3\)). Tipp: sollte die Ausgangsungleichung doch die erst genannte gewesen sein, ist die Lösungsmenge genau die Inverse. Wobei \(x=0\) und \(x=7\) in keinem Fall Teil der Lösung ist.
