Ungleichungen mit Brüchen, Lösungsmenge bestimmen

Question

Aufgabe:

\( \dfrac{x-1}{x-3} \) > 0

Problem/Ansatz:

ich komme mit dieser Aufgabe irgendwie nicht ganz klar.

Mein Lösungsansatz:

-> x - 1 > 0 * ( x - 3)              *x-3 um den Bruch aufzulösen

-> x > +1

Das heißt die Lösungmenge wäre für mich L = x entspricht R mit der Eigenschaft x > 1

Jemand anderes aus meinem Kurs hat diesen Lösungsweg:

-> \( \dfrac{(x-1)(x-3)}{x-3} \) > 0 * (x-3)     (wo bekommt sie die x-3 im Zähler auf einmal her?

-> x - 1 > 0 und daraus leitet sie die Lösungsmenge: L = x entspricht R mit der Eigenschaft x < 1 oder x > 3

Leider haben wir dazu keine Musterlösung.

Vielleicht kann mir hier jemand sagen, welcher Lösungsweg der Richtige ist und, falls es der letztere ist, mir diesen erklären?

:)

Comments

Das heißt die Lösungmenge wäre für mich L = x entspricht R mit der Eigenschaft x > 1

Wir setzen x=2:

(2-1)/(2-3) = 1/(-1) = -1 < 0 => somit stimmt x > 1 nicht.

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Danke für den Tipp zur Überprüfung! :)

Answer 1

Es gibt -zig mögliche Lösungswege

Einer wäre : Zähler und Nenner sind positiv
oder Zähler und Nenner sind negativ.
Beides führt zu einem positiven Wert

( x -1 ) / ( x - 3 ) > 0

x-1 > 0 und x-3 > 0
x > 1 und x > 3
zusammen
x > 3

oder
x-1 < 0 und x-3 < 0
x < 1 und x < 3
zusammen
x < 1

Lösungsmenge
( x < 1 ) und ( x > 3 )

Graphisch überprüft.
Bei Bedarf nachfragen.

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Da habe ich wohl nicht weit genug gedacht bei meinem Lösungsansatz. 

Ich habe nicht bedacht, dass Zähler und Nenner auch negativ sein können. Aber klar, die Vorzeichenregel minus / minus  = + und somit > 0.

Die Grafik bekomme ich mit Ihrer tollen Erklärung hin, vielen vielen lieben Dank!

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Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann stell´
sie wieder ein.

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Da komme ich ganz bestimmt drauf zurück! :)

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Zur Kontrolle
Alles oberhalb der x-Achse gehört zur Lösungsmenge

Answer 2

Wenn eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert wird, muss das Größer- bzw. Kleiner-Zeichen umgedreht werden.

Für x=2 ist x-3=2-3=-1, also negativ. Daher darfst du nicht einfach mit (x-3) multiplizieren, sondern müsstest unterscheiden, ob (x-3) positiv oder negativ ist.

Bei deinem Lösungsansatz wäre also x>3 der erste Fall, der zu x>1 führt, aber x>3 ist stärker.

Der 2. Fall x<3 bedeutet, dass mit einer negativen Zahl multipliziert wird, führt also zu x-1<0.

Also x>3 oder x<1.

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Danke für diese ausführliche Erklärung! Das kann sogar ich sehr gut nachvollziehen! :)

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Schön, dass dir meine allererste Antwort auf dieser Seite geholfen hat!