1/(x-|x-2|) < 1
Um den Betrag loszuwerden betrachte als erstes
1. Fall x≥2 .
Dann wird die Ungl. zu 1/(x-(x-2)) < 1
<=> 1 / 2 < 1
Das ist immer wahr, also gehören alle Zahlen mit x≥2
zur Lösungsmenge.
2. Fall x<2 . Dann wird es zu 1/(x+(x-2)) < 1
<=> 1/ (2x-2) < 1
Nun musst du ja mit dem Nenner multiplizieren. Ob der positiv
oder negativ ist, hängt davon ab, ob x kleiner oder größer als 1 ist.
Also musst du weiter unterscheiden
1. Unterfall: x>1 und x<2 .
Dann ist der Nenner positiv und du erhältst 1 < 2x-2
<=> 3 < 2x
<=> 1,5 < x .
Im Bereich x>1 und x<2 gilt 1,5 <x für alle x-Werte ,
die größer 1,5 und kleiner als 2 sind , also
gehören die alle zur Lösungsmenge. Sozusagen das Intervall ]1,5 ; 2[ .
2. Unterfall: x<1 und x<2 also kurz x<1 :
Dann ist der Nenner negativ und du erhältst 1 > 2x-2
<=> 3 > 2x
<=> 1,5 > x
Im Bereich x<1 gilt das für alle Werte.
Also bleibt als Lösungsmenge insgesamt: Alle x-Werte mit
x≥2 oder 1,5<x<2 oder x <1
Die ersten beiden zusammen besagen nur x>1,5 Also L = {x∈ℝ | x>1,5 oder x<1 }.
Das kannst du auch grafisch kontrollieren:
~plot~ 1/ ( x-abs(x-2));1 ~plot~