Wie löst man Ungleichungen

Question

Aufgabe: 1/(x-|x-2) < 1

ich schaffe es irgendwie nicht diese Ungleichung zu lösen 1/(x-|x-2) < 1.

Ich weiß, das man das man Fallunterscheidungen lösen muss, aber irgendwie komme ich auf zu viele Lösungen. Meine Lösungen waren x<1; x>1; x>1,5;  x<1,5.

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Fallunterscheidung:

x>=2

x<2

Es fehlt ein Betragsstrich.

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aber irgendwie komme ich auf zu viele Lösungen. Meine Lösungen waren x<1; x>1; x>1,5;  x<1,5.

Angenommen, das wäre richtig. Dann wäre schon die Hälfte davon überflüssig.

Wenn x>1 als Lösungsbeschreibung zutreffen würde, brauchst du x>1,5 nicht mehr.

Zahlen, die größer als 1,5 sind, erfüllen sowieso die allgemeinere Forderung, dass sie größer als 1 sein sollen.

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Ja, stimmt, ich habe tatsächlich den Betragsstrich vergessen. Das ist die korrekte Gleichung :

1/(x-|x-2|) < 1.

In meinen Lösungen steht, dass nur x>1,5; und x<1 rauskommen soll

Answer 1

Dir wurde angeraten, die Fallunterscheidung

x>=2

x<2

zu machen.

Hast du diesen Rat befolgt? Im Rahmen jedes der beiden Fälle wirst du mit dem (durch Auflösung der Beträge vereinfachten) Nenner multiplizieren müssen. Falls dieser positiv ist, bleibt das Relationszeichen. Falls dieser negativ ist, kehrt es sich um. Du wirst also im Rahmen der beiden Fälle jeweils eine erneute Fallunterscheidung vornehmen müssen und dabei die beiden Einschränkungen (Forderung an den betrachteten Hauptfall UND zusätzliche Forderung an den gerade betrachteten Unterfall) gleichzeitig mit der umgeformten Ungleichung in Betracht ziehen müssen.

Answer 2

1/(x-|x-2|) < 1

Um den Betrag loszuwerden betrachte als erstes

1. Fall x≥2 .

Dann wird die Ungl. zu  1/(x-(x-2)) < 1

                      <=>    1 / 2 < 1

Das ist immer wahr, also gehören alle Zahlen mit   x≥2

zur Lösungsmenge.

2. Fall x<2 . Dann wird es zu    1/(x+(x-2)) < 1

                                    <=> 1/ (2x-2) < 1

Nun musst du ja mit dem Nenner multiplizieren. Ob der positiv

oder negativ ist, hängt davon ab, ob x kleiner oder größer als 1 ist.

Also musst du weiter unterscheiden

1. Unterfall:      x>1 und x<2 .

Dann ist der Nenner positiv und du erhältst 1 < 2x-2

                                          <=>    3 < 2x

                                           <=>  1,5  < x .

Im Bereich x>1 und x<2  gilt 1,5 <x für alle x-Werte ,

die größer 1,5 und kleiner als 2 sind , also

gehören die alle zur Lösungsmenge. Sozusagen das Intervall ]1,5 ; 2[ .

2. Unterfall: x<1 und x<2  also kurz x<1 :

Dann ist der Nenner negativ und du erhältst 1 > 2x-2 
                                          <=>    3 > 2x
                                          <=>  1,5 > x

Im Bereich x<1 gilt das für alle Werte.

Also bleibt als Lösungsmenge insgesamt: Alle x-Werte mit

x≥2   oder 1,5<x<2  oder x <1

Die ersten beiden zusammen besagen nur x>1,5  Also L = {x∈ℝ | x>1,5 oder x<1 }.

Das kannst du auch grafisch kontrollieren:

~plot~ 1/ ( x-abs(x-2));1 ~plot~

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Vielen Dank für deine Hilfe und ausführliche Erklärung. Ich weiß es sehr zu schätzen, dass du dir so viel Mühe gegeben hast und ich habe es endlich verstehen können. Vielen Dank!!!!

Answer 3

1/(x-|x-2|) < 1

1.Fall
x - 2  > 0 dann gilt
x > 2
| x- 2 | = x - 2
1 / (x- ( x-2) ) < 1
1 / ( -2 ) < 1
- 1/2 < 1
ist für alle x > 2 stets richtig

2.Fall
x - 2  < 0 dann gilt
x < 2
| x- 2 | = -1 * ( x - 2 )
| x- 2 | =  - x + 2
1 / ( x - ( - x + 2 ) ) < 1
1 / ( 2x - 2 ) < 1

für 2x - 2  > 0
2x > 2
x > 1
gilt
1 < 2x - 2
2x > 3
x > 3/2
zusammen mit der Eingangsvoraussetzung x < 2
( ( x < 2 ) und ( x > 3/2 )
3/2 < x < 2

für 2x - 2  < 0
2x < 2
x < 1
gilt
1 / ( 2x - 2 ) < 1  | * ( 2x - 2 ) ( negativ !!! )
das Relationszeichen dreht sich um
1 > 2x - 2
2x < 3
x < 3/2
zusammen mit der Eingangsvoraussetzung x < 1
( ( x < 1 ) und ( x < 3/2 )
x < 3/2

( ( x < 1 ) und ( x < 3/2 )

x < 1

zusammen
x > 2
3/2 < x < 2

Lösungsmenge
x von > 3/2 bis ∞

und
x von -∞ bis < 1

wird grafisch bestätigt

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Dankeschön für diese Lösung. Auch diese ist ordentlich zusammen getragen und hilft mir sehr beim Verstehen der Aufgabe! :)

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Es ist interessant das so eine läppisch
aussehende Ungleichung doch soviel Arbeit
verursachen kann.
Dies kommt bei Ungleichungen gar nicht einmal so selten vor.