Zahlenfolge und Partialsummen

Question

Aufgabe:

Bestimme:

\( \frac{1}{3} \sum \limits_{K=2}^{\infty} 5 · \left(\frac{1}{3}\right)^{k} \)

Aufgabe 2:

Wert von \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \)

a) 2/3
b) 1
c) 0
d) 0,5
e) 2

Mehr steht nicht da, was soll hier bestimmt werden?

Answer 1

1/3 * ∑ (k=2 bis ∞) (5 * (1/3)^k)
= 5/3 * ∑ (k=2 bis ∞) ((1/3)^k)
= 5/3 * ∑ (k=1 bis ∞) ((1/3)^k) - (1/3)^1
= 5/3 * 1/2 - 1/3
= 5/6 - 2/6
= 3/6
= 1/2

Bei der zweiten Summe kommt so wie sie da geschrieben ist unendlich heraus. Prüfe sie noch mal auf Richtigkeit.

Comments

Ja, die aufgeschriebene Summenformel stimmt.= 5/3 * ∑ (k=2 bis ∞) ((1/3)k)
= 5/3 * ∑ (k=2 bis ∞) ((1/3)k) > das ist verständlich

Aber warum gehst du hier auf k=1?
= 5/3 * ∑ (k=1 bis ∞) ((1/3)k) - (1/3)1
= 5/3 * 1/2 - 1/3
= 5/6 - 2/6
= 3/6
= 1/2

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Es gilt für die geometrische Reihe

∑ (k=1 bis ∞) (q^k) = q/(1 - q)

oder 

∑ (k=0 bis ∞) (q^k) = 1/(1 - q)

D.h. wenn sie ab einem anderen Wert läuft müsste man sie zunächst auf 0 oder 1 bringen.

Und ich meinte ob die zweite angegebene Summe so stimmt

∑ (k=1 bis ∞) (1/k) = ∞ und keiner der angegebenen Werte.

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Ah okay.
Woher kommt dann die 1/2 in der zweiten Zeile?

= 5/3 * ∑ (k=1 bis ∞) ((1/3)k) - (1/3)1
= 5/3 * 1/2 - 1/3

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Das ist die Umformung der geometrischen Reihe mit der Summenformel.

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Sorry aber dass verstehe ich nicht.
Nochmal für Dumme:
Du rechnest die Summe mit k=2 minus Summe mit k=1.
Dann hab ich (1/3)^2 - (1/3)^1, also (1/9)-(1/3) und dass ganze *(5/3)

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∑ (k=1 bis ∞) ((1/3)^k) = 1/2

Hier benutzt man die geometrischen Summenformel zur Vereinfachung.

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Sorry, aber ich kapiere absolut nichts.
allgemeine Summenformel ist doch:
s_n = a₁ * (1-qⁿ/1-q)
aber wie kommst du hier auf 1/2?

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Ich hatte oben geschrieben, das für die Summe einer geometischen Reihe folgendes gilt:

∑ (k=1 bis ∞) (q^k) = q/(1 - q)

oder 

∑ (k=0 bis ∞) (q^k) = 1/(1 - q)

Siehe dazu auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe