Funktionen auf Stetigkeit überprüfen: f(x):=√(|1-2x|), falls x≤2

Question

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit

\( f: \boldsymbol{R} \rightarrow \boldsymbol{R} \), mit \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{|1-2 x|} & , \text { falls } x \leq 2 \\ e^{\frac{1}{2}} & , \text { falls } x>2\end{array}\right. \)

\( g: \boldsymbol{R} \rightarrow \boldsymbol{R}, \operatorname{mit} g(x)=\left\{\begin{array}{ll}-x \cos (x \pi) & , \text { falls } x<1 \\ x^{2} \cos (\ln (x)) & , \text { falls } x \geq 1\end{array}\right. \)

Ich bin auf das Ergebnis gekommen, dass g(x) nicht stetig ist. Was meint ihr?

Bei f(x) komm ich auf Zahlen wie 1,648 und 1,7320. Muss der rechtsseitige Wert nicht gleich den linksseitigen bzw. gleich der Funktion haben?

Comments

Warum sollte g nicht stetig sein? Ich würde sagen, ja, denn x -> 1, -x cos (x * pi) = 1 und 1^2 * cos(ln(1)) = 1, also bei 1 gibt es keine Sprungstelle. Und ansonsten ist die Funktion ja auch stetig. Würde ich sagen...

---

Dann hab ich es wohl falsch gerechnet >.<

---

Du hast dich wohl nur vertippt und meinst das f nicht stetig ist. Dort kommst du auf deine Werte.

---

wieso setzt du f(2) = e^{1/2} ? x muss doch > 2 sein.

---

Hab ich mich auch gefragt und dachte mir das x ja gegen 2 strebt von daher hab ich auch 2 eingesetzt. x Kommt ja von "links" und von "rechts". Würde mich trotzdem freuen wenn ein jemand mit mehr Erfahrung das klären würde.

---

f(2) zu bilden ist völlig in Ordnung. Du hast eigentlich schon alles gesagt, AniThroX ;). Das passt so.

Answer 1

Wir prüfen f(2)

√(⎮1 - 2·x⎮) = √(⎮1 - 2·2⎮) = √3

e^{1/x} = e^{1/2} = √e

Das beides ist nicht das gleiche und damit ist f nicht stetig.


Wir prüfen g(1)

- x·COS(x·pi) = - 1·COS(1·pi) = 1

x^2·COS(LN(x)) = 1^2·COS(LN(1)) = 1

Hier sind die Funktionswerte gleich und damit ist g stetig.

Comments

Das hatte ich auch raus aber war mir unsicher da es mir irgendwie zu einfach vorkam, weil man nur die Werte einsetzen muss. Danke für deine Antwort (:

---

Wenn ich für - x·COS(x·pi)  x=1 einsetze komm ich auf -0,998 und nicht auf 1..

---

Oder ist das eben richtig weil ich für x=1 einsetze und damit der wert kleiner als 1 ist somit die Voraussetzung erfüllt ist ?

---

Achte mal darauf den Taschenrechner ins Bogenmaß zu stellen bevor du es berechnest.