Prozentrechnung Wachstum Baum

Question

Aufgabe:

Zwei Bäume A und B sind bei der Pflanzung je 3 Meter hoch. Beide wachsen pro Jahr um einen konstanten Prozentsatz in die Höhe. Baum B ist nach 20 Jahren 15 Meter hoch. Um wie viel % ist er jährlich gewachsen?

Problem/Ansatz:

Ich habe 15:3=5 gerechnet und das sind dann 5 Prozent in 20 Jahren , also ist der Baum pro Jahr dann 0.25 Prozent gewachsen. Mein Gefühl sagt mir ich habe irgendetwas da falsch gerechnet. Und die Aufgabe kommt mir zu leicht vor

Wäre jemand so freundlich mir da weiter zu helfen

LG

Answer 1

Wenn ein Baum um x Prozent wächst, ist er nach einem Jahr 3·(1+0.01x) hoch. (1+0.01x) ist der Wachstumsfaktor. Nach 20 Jahren ist er 3·(1+0.01x)²⁰ =15 Meter hoch.

Also: \(3\cdot(1+\frac{x}{100})^{20}=15\)

\((1+\frac{x}{100})^{20}=5\)

\(1+\frac{x}{100}=\sqrt[20]{5}\)

\(x=(\sqrt[20]{5}-1)\cdot 100\approx 8,379838673\)

Die jährliche Wachstumsrate beträgt ca. 8,38%

Comments

Vielen Dank für die Antworten , Ich habe mir schon gedacht , dass ich es mir zu einfach gemacht habe.

wie würden man die Aufgabe hier jetzt rechnen:  Baum A wächst pro Jahr 12% und wie hoch ist er nach 20 Jahren

Mein Ansatz war 3m • 0,12= 0,36m pro Jahr

nach 20 Jahren: 0.36 • 20= 7.2m

Höhe: 3m+ 7.2m=9.2m

Hier war ich mir sicher , dass ich es richtig gerechnet habe , aber nach dem ich jetzt die komplizierte Formel gesehen habe bin ich mir auch hier nicht mehr sicher

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So kompliziert ist die Formel gar nicht. Du darfst nur nicht vergessen, dass die Höhe des Baumes am Anfang 100% beträgt. Also entspricht seine Höhe nach einem Jahr 112%. Da Prozent Hundertstel bedeutet, musst du 112/100=1,12 als Wachstumsfaktor nehmen.

Nach 1 Jahr: 3·1,12=3,36     

Hier stimmen deine 0,36m noch! Jetzt musst du aber für das 2. Jahr 3,36m als 100% annehmen und so rechnen:

Nach 2 Jahren: 3,36·1,12=3,7632

Um nicht 20 Rechnungen machen zu müssen, gucken wir mal, was wir gerechnet haben:

3·1,12·1,12=3·1,12²=3,37632

Wir rechnen also Anfangshöhe mal Wachstumsfaktor hoch Anzahl der Jahre.

Nach 20 Jahren: 3·1,12²⁰≈28.9388792798

Der Baum wäre dann 28,94m hoch.

Es ist das gleiche Prinzip wie beim Zinseszins.

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Aso vielen vielen Dank, jetzt habe ich es wirklich verstanden.

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Das ist schön. Danke für die Rückmeldung. :-)

Answer 2

Zwei Bäume A und B sind bei der Pflanzung je 3 Meter hoch. Beide wachsen pro Jahr um einen konstanten Prozentsatz in die Höhe. Baum B ist nach 20 Jahren 15 Meter hoch. Um wie viel % ist er jährlich gewachsen?

f(20) = 3 * b^20 = 15 → b = (15/3)^(1/20) = 1.0838

Er wächst jährlich um ca. 8.38%.

Comments

Ich habe 15:3=5 gerechnet und das sind dann 5 Prozent in 20 Jahren

5 sind nie 5%. Der Baum wächst auf das 5-fache und das heißt er wächst um 400% auf 500%.

und auch die 400% jetzt durch 20 teilen was ja 20% wären wäre verkehrt.

Das wäre der Fall wenn der Baum jährlich 20% von der Anfangshöhe (3 m) wachsen würde.

Bei einer Exponentialfunktion bezieht sich das Wachstum aber immer auf die Vorjahreshöhe.

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Baum A wächst pro Jahr 12% und wie hoch ist er nach 20 Jahren

g(20) = 3 * 1.12^20 = 28.94 m

Answer 3

Deine Fragen und Lösungen zeugen davon das du
die Exponentialgleichung noch nicht kennst.

Ein einfaches Beispiel wäre die Zinsrechnung bei
Kapitalvermehrung.
Zinsen in % = 5
Anfangskapital 100 €
Zinsfaktor 1 + 0.05 = 1.05
1.Jahr : 100 * 1.05 = 105
2.Jahr = 1.Jahr * 1.05
= ( 100 * 1.05 ) * 1.05 = 100 * 1.05^2 = 110,25
3.Jahr : 100 * 1.05^3
usw
K ( t ) = K0 * 1.05^t
K ( t ) = 100 * 1.05^t

Baumhöhe
Wachstumsfaktor = f ( unbekannt )
Anfangshöhe = H0
H ( t ) =  H0 * f ^t
H ( 20 ) = 3 * f^20 = 15 m

Dies ist die Grundgleichung

Bei Bedarf nachfragen.