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Lineare Unabhängigkeit und lineare Hülle
Um zu zeigen, dass die Vektoren \(v_1, ..., v_k \in V\) genau dann linear unabhängig sind, wenn für jedes \(j \in \{1, ..., k\}\) die lineare Hülle \(span(v_1, ..., v_{j-1}, v_{j+1}, ..., v_k)\) echt kleiner ist als \(span(v_1, ..., v_k)\), betrachten wir zwei Richtungen: die Notwendigkeit und die Hinlänglichkeit dieser Bedingung.
1.
Notwendigkeit (Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, dann wird die lineare Hülle echt kleiner bei Entfernung eines Vektors)
Wir nehmen an, dass \(v_1, ..., v_k\) linear unabhängig sind. Wenn wir jetzt einen Vektor \(v_j\) entfernen, behaupten wir, dass \(span(v_1, ..., v_{j-1}, v_{j+1}, ..., v_k)\) nicht mehr \(v_j\) enthalten kann, also eine echt kleinere Menge ist. Falls \(v_j\) doch in dieser Spanne enthalten wäre, könnte \(v_j\) als Linearkombination der übrigen Vektoren \(v_1, ..., v_{j-1}, v_{j+1}, ..., v_k\) ausgedrückt werden. Das würde bedeuten, dass die ursprüngliche Menge der Vektoren nicht linear unabhängig war, was einen Widerspruch darstellt. Daher wird bei Entfernung eines Vektors aus einer Menge von linear unabhängigen Vektoren die lineare Hülle immer echt kleiner.
2.
Hinlänglichkeit (Wenn die lineare Hülle bei Entfernung eines Vektors echt kleiner wird, dann sind die Vektoren linear unabhängig)
Wir nehmen das Gegenteil an: Die Vektoren \(v_1, ..., v_k\) sind linear abhängig. Das bedeutet, dass mindestens ein Vektor \(v_j\) als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden kann. Wenn wir \(v_j\) entfernen, ändert sich die lineare Hülle nicht, da \(v_j\) aus den anderen Vektoren reproduziert werden kann. Dies steht im Widerspruch zur Annahme, dass die lineare Hülle echt kleiner wird. Daher müssen die Vektoren linear unabhängig sein, wenn die Entfernung eines Vektors zu einer echt kleineren linearen Hülle führt.
Basis und Eindeutigkeit der Linearkombination
Um zu zeigen, dass eine Menge von Vektoren \(B = \{b_1, ..., b_n\} \subset V\) genau dann eine Basis von \(V\) ist, wenn sich jeder Vektor \(v \in V\) eindeutig als Linearkombination der Vektoren aus \(B\) darstellen lässt:
1.
Eindeutigkeit der Darstellung impliziert, dass \(B\) eine Basis ist
Wenn jede Darstellung eines Vektors \(v\) als Linearkombination der \(b_i\) eindeutig ist, impliziert dies, dass die \(b_i\) linear unabhängig sind (sonst gäbe es verschiedene Darstellungen desselben Vektors durch \(B\)). Zudem bedeckt die lineare Hülle von \(B\) den gesamten Raum \(V\), da jeder Vektor \(v \in V\) als Linearkombination dargestellt werden kann. Linear unabhängigkeit zusammen mit der Eigenschaft, den Raum zu spannen, definiert eine Basis.
2.
Wenn \(B\) eine Basis ist, muss jede Darstellung eindeutig sein
Da \(B\) eine Basis ist, sind die Elemente von \(B\) per Definition linear unabhängig und spannen den gesamten Raum \(V\) auf. Linear Unabhängigkeit sichert, dass keine redundanten Vektoren in \(B\) vorhanden sind, was zusammen mit der Eigenschaft des Spannens impliziert, dass jeder Vektor \(v \in V\) durch eine eindeutige Kombination der Basisvektoren dargestellt werden kann. Gäbe es mehr als eine Darstellung, würde dies der Linear Unabhängigkeit widersprechen.
