Aufgabe:
Gegeben seien die folgenden Mengenpaare. Entscheiden Sie, ob diese ein Matroid bilden und begründen Sie Ihre Aussage. Geben Sie die inklusionsmaximalen Basen an, wenn die Mengen ein Matroid bilden.
a) \( S=\mathbb{N} \)
\( U=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\}\} \)
b) \( S:=\{w, x, y, z, 1\} \),
\( U=\mathcal{P}(\{w, z, 1\}) \cup\{\emptyset,\{y, 1\},\{x\},\{x, y\},\{x, 1\},\{y\},\{x, y, 1\},\{w, x\},\{w, x, 1\}\} \)
c) \( S:=\{a, b, c, d, 10\} \),
\( U=\mathcal{P}(\{a, d, 10\}) \cup \mathcal{P}(\{a, b, 10\}) \cup \mathcal{P}(\{b, c, 10\}) \cup \mathcal{P}(\{c, d, 10\}) \)
d) Sei \( G=(V, E) \) ein beliebiger Graph. Nun sei \( S:=E \) und \( U \) alle Kreise in \( G \).
Am besten erklären an den Teilaufgaben a und b.
