Anzahl Elemente in Mengen und Schnittmengen

Question

Aufgabe:

Geben Sie begründete Antworten auf die folgenden Fragen:

Seien A, B, C Mengen mit |A| = 100, |B| = 50 und |C| = 48. Außerdem gelte:

• Die Anzahl der Elemente, welche in genau einer der Mengen enthalten sind, ist doppelt so groß wie die Anzahl der Elemente, die im Durchschnitt von genau zwei der Mengen enthalten sind.

• Die Anzahl der Elemente, welche in genau einer der Mengen enthalten sind, ist dreimal so groß wie die Anzahl der Elemente, die im Durchschnitt aller Mengen enthalten sind.

Problem/Ansatz:

Moin! Ich muss folgende Mathe Aufgabe bekommen, aber habe Probleme Sie zu lösen. Ich hoffe es kann mir jemand helfen!

Nachtrag

Das ist die komplete Frage.

Geben Sie begründete Antworten auf die folgenden Fragen:

(a) Von 18 Studierenden im Raum studieren 7 Physik, 10 Informatik und 10 Mathematik. Außerdem studieren

 • 3 von ihnen Physik und Informatik,

 • 4 Physik und Mathematik, und

• 5 Informatik und Mathematik

. • Ein Studierender braucht keinen Schlaf und studiert alle 3 Fächer.

Wieviele Studierende im Raum belegen keines der drei Fächer?

(b) Eine Umfrage unter 100 Personen hat ergeben:

• 8 besitzen ein Motorrad

• 20 besitzen ein Auto

 • 48 besitzen ein Fahrrad

 • 38 besitzen weder ein Motorrad, noch ein Auto, noch ein Fahrrad. •

Keine der Personen, die ein Auto besitzen, besitzt auch ein Motorrad.

Wie viele Pefsonen besitzen ein Fahrrad und zusätzluch noch entweder ein Auto oder Mitorad?

(c)Seien A, B, C Mengen mit |A| = 100, B = 50 und |C| = 48. Außerdem gelte:

• Die Anzahl der Elemente, welche in genau einer der Mengen enthalten sind, ist doppelt so groß wie die Anzahl der Elemente, die im Durchschnitt von genau zwei der Mengen enthalten sind.

• Die Anzahl der Elemente, welche in genau einer der Mengen enthalten sind, ist dreimal so groß wie die Anzahl der Elemente, die im Durchschnitt aller Mengen enthalten sind.

Wieviel Elemente sind in A∩B∩C erhalten?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie viele Studierende im Raum belegen keines der drei Fächer? (Inklusion-Exklusion und Verwandtes)

Stichworte: wahrscheinlichkeitsrechnung,wahrscheinlichkeit

(Inklusion-Exklusion und Verwandtes)

Von 18 Studierenden im Raum studieren 7 Physik, 10 Informatik und 10 Mathematik. Außerdem studieren

• 3 von ihnen Physik und Informatik,

• 4 Physik und Mathematik, und

• 5 Informatik und Mathematik.

• Ein Studierender braucht keinen Schlaf und studiert alle 3 Fächer.

Wie viele Studierende im Raum belegen keines der drei Fächer?

Kann mir jemand bei der Aufgabe behilflich sein?

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Vom Duplikat:

Titel: Wieviel Elemente sind in A ∩ B ∩ C enthalten?

Stichworte: diskrete

Aufgabe:

Geben Sie begründete Antworten auf die folgende Frage:

Seien A, B, C Mengen mit |A| =100, |B| =50 und |C|= 48. Außerdem gelte:

• Die Anzahl der Elemente, welche in genau einer der Mengen enthalten sind, ist doppelt so groß wie die Anzahl der Elemente, die im Durchschnitt von genau zwei der Mengen enthalten sind.

• Die Anzahl der Elemente, welche in genau einer der Mengen enthalten sind, ist dreimal so groß wie die Anzahl der Elemente, die im Durchschnitt aller Mengen enthalten sind.

Wieviel Elemente sind in A ∩ B ∩ C enthalten?

Bis jetzt habe zwei Frage gestellt und habe keine Antwort von Ihnen bekommen. Können Sie bitte die Frage beantworten? Ich werde sehr dankbar.

Answer 1

Die Anzahl der Elemente in genau einer ....ist doppelt so groß → also ist sie gerade.

Die Anzahl der Elemente in genau einer ....ist dreimal so groß → also ist sie auch durch 3 teilbar.

Damit ist die Anzahl aller Elemente, die nur in genau einer Menge liegen, ein Vielfaches von 6 (sagen wir: 6x).

Damit ist die Anzahl aller Elemente, die in genau zwei Mengen liegen, nur 3x.

Die Anzahl im Durchschnitt aller drei Mengen ist 2x.

Die drei Mengen enthalten damit 11x Elemente. Da der Durchschnitt der Mengen nicht leer ist, sind das deutlich weniger als 198. Außerdem sind es mindestens 100.

Comments

Hast du eine Idee, wie (a) und (b) lösen kann?

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(a) Von 18 Studierenden im Raum studieren 7 Physik, 10 Informatik und 10 Mathematik. Außerdem studieren

 • 3 von ihnen Physik und Informatik,

 • 4 Physik und Mathematik, und

• 5 Informatik und Mathematik

. • Ein Studierender braucht keinen Schlaf und studiert alle 3 Fächer.

Wieviele Studierende im Raum belegen keines der drei Fächer?

(b) Eine Umfrage unter 100 Personen hat ergeben:

• 8 besitzen ein Motorrad

• 20 besitzen ein Auto

 • 48 besitzen ein Fahrrad

 • 38 besitzen weder ein Motorrad, noch ein Auto, noch ein Fahrrad. •

Keine der Personen, die ein Auto besitzen, besitzt auch ein Motorrad.

Wie viele Pefsonen besitzen ein Fahrrad und zusätzluch noch entweder ein Auto oder Mitorad?

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Hmmm????

Ist das bei c richtig?? Es klinht kommisch! Oder kann mir jemand das erklären?

Answer 2

a)

Wenn Du das Venn-Diagramm in umgekehrter Reihenfolge der gegebenen Informationen ausfüllst, kommst Du rasch zum Ziel:

Comments

Hast du auch eine Idee bei b?

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Und was meinst du mit "umgekehrter Reihenfolge"?

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Hast du auch eine Idee bei b?

Ja. Mach es ebenso wie bei a), nämlich Venn-Diagramm zeichnen und Zahlen einsetzen.

Und was meinst du mit "umgekehrter Reihenfolge"?

Genaudas. Von unten nach oben. Also anfangen mit der Information "Ein Studierender braucht keinen Schlaf und studiert alle 3 Fächer." - was dazu führt, dass Du eine 1 in die Mitte des Diagramms schreibst.

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Ich kann die  Aufgabe a und b nicht löse :(

Kann mir es jemand bitte vorrechnen? Bitte!

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a) habe ich Dir doch in dieser Antwort vorgezeigt?

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Kannst du bitte b genau wie a in venn-Diagramm zrigen, damit ich es besser verstehe? Bitte!

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Das Diagramm sieht gleich aus. Anstatt Physik, Mathematik und Informatik steht dort allerdings Auto, Motorrad und Fahrrad.

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Wäre das so richtig döschwo?

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Schaut doch gut aus.

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Super danke.

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döschwo, kannst du bitte zeigen, wie du auf 2 kommst?

Es gibt diese Formel aber ich komme nicht auf 2:

|Ap| + |Ai| + |Am| - |Ap∩Ai| - |Ap∩Am| - |Ai∩Am| + |Ap ∩ Ai ∩ Am|

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In meiner Antwort zu a) kommt 2 an drei verschiedenen Orten vor. Welches 2 meinst Du? Was bedeutet "gibt es eine Formel"? Woher kommt die von Dir genannte Formel, und wozu soll sie sein?

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Ach ich habe mein Fehler gefunden. Danke

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döschwo, das ist meine letzte Frage. Ich verspresche, dass ich ich dir nicht mehr nerve. Wenn du mir bei diese Frage hilfst, ich küsse dein Herz. Bitte enttäusch mich nicht. Die Frage ist sehr schwer. Ich komme nicht weiter.

:/ :(

(d) Bei der Internationalen Informatik-Olympiade wurde drei Probleme A, B und C gestellt. Folgendes Ergeb. wurde bei der Auswertung beobachtet: • 25 Teilnehmer haben mindestens eines der Probleme gelöst. • Von den Teilnehmern, die Problem A nícht gelöst haben, haben doppelt soviele Teilnehmer Problem gelöst, wie Teilnehmer Problem C gelöst haben. • Die Anzahl der Teilnehmer, die nur Problem A gelöst haben, ist um eins höher als die Anzahl der Te nehmer, die Problem A und mindestens ein weiteres Problem gelöst haben. • Von den Teilnehmern, die nur ein Problem gelöst haben, hat die Hälfte Problem A nicht gelöst. Wieviele Teilnehmer haben nur Problem B gelöst?

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Weder nervst Du, noch wäre ich mit einer chirurgischen Öffnung meines Brustkorbs einverstanden. Wenn Du nun noch eine neue Frage hast, stelle die doch einfach als neue Frage ein. Dann bleibt es übersichtlich. Der Text Deiner neuen Frage scheint unvollständig zu sein ("haben doppelt soviele Teilnehmer Problem gelöst" - welches?).

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Die Antwort zur Zusatzfrage lautet 6 (vorausgesetzt, ich habe Deinen unvollständigen Text richtig interpretiert).

Da die Anzahl Elemente in jeder Teilmenge nicht eindeutig ist, habe ich das CAS suchen lassen. Es hat 36 Lösungen gefunden. Aber in allen ist der gesuchte Wert = 6.

Es ist dabei vorteilhaft, die Teilmengen zu benennen, z.B. so:

damit man die Angaben in Gleichungen umsetzen kann. Ich verwende dabei dieselben Namen für die Teilmengen als auch für die Anzahl Elemente in ihnen.

Das CAS sagt dann:

Answer 3

Mein Ansatz stockt, was nun?

Titel: Wieviele Teilnehmer haben nur Problem B gelöst?

Stichworte: wahrscheinlichkeit,ausschuss,kombinatorik

Bei der Internationalen Informatik-Olympiade wurde drei Probleme A, B und C gestellt. Folgendes Ergebnis
wurde bei der Auswertung beobachtet:

- 25 Teilnehmer haben mindestens eines der Probleme gelöst.

- Von den Teilnehmern, die Problem A nicht gelöst haben, haben doppelt soviele Teilnehmer Problem B
gelöst, wie Teilnehmer Problem C gelöst haben.

- Die Anzahl der Teilnehmer, die nur Problem A gelöst haben, ist um eins höher als die Anzahl der Teilnehmer,
die Problem A und mindestens ein weiteres Problem gelöst haben.

- Von den Teilnehmern, die nur ein Problem gelöst haben, hat die Hälfte Problem A nicht gelöst.

Wieviele Teilnehmer haben nur Problem B gelöst?

Da muss man ja mit einem LGS vorgehen.

Habe da so angefangen

25 = A + B + C

C = 2B - A

A + (B v C) < A + 1

Aber weiter weiß ich leider nicht.

Answer 4

Deine Gleichungen scheinen mir nicht viel Sinn zu ergeben. Wofür sollen denn die Variablen stehen? Wenn A die Anzahl der Personen sein soll, die nur Aufgabe A gelöst haben, dann würdest du ja nicht die Personen zählen, die mehr als eine Aufgabe gelöst haben (der erste Hinweis lautet aber "mindestens eine Aufgabe").

Sollen es insgesamt die Personen sein, die A gelöst haben, dann zählst du die Personen, die mehr als eine Aufgabe korrekt gelöst haben ja doppelt oder gar dreifach. Die anderen Gleichungen erscheinen mir noch sinnloser: Die Vermischung von logischen und arithmetischen Operatoren (oder soll das + für ein ODER stehen? Dann macht als Ergebnis 25 wiederum kein Sinn) und dann noch eine Ungleichung als Zugabe sind extrem wirr.

Du könntest die Hinweise durchaus mittels Mengenoperation darstellen:

$$ A,B,C\text{:\quad Menge der Personen, die A, B bzw. C richtig beantwortet haben}\\ 1.)\qquad |A\cup B\cup C|=25\\ 2.)\qquad |B\setminus A|=2|C\setminus A|\\ 3.)\qquad |A\setminus (B\cup C)|=|A\cap (B\cup C)|+1\\ 4.)\qquad |A\setminus (B\cup C)|=|(B \cup C)\setminus (B\cap C)|\\ $$

Ich kann mir gut vorstellen, dass man es auch mit diesen Gleichungen lösen kann, ich habe mich allerdings für einen anderen Weg entschieden:

Die Bedeutung der Variablen kann man dem Venn Diagramm entnehemen:

Also z.B.: \(a\text{:\quad Anz. der Personen, die nur Aufgabe A gelöst haben}\)
und           \(f\text{:\quad Anz. der Personen, die nur Aufgabe B und C gelöst haben}\)

Dann stellts du die Gleichungen auf:

$$ 1.)\qquad a+b+c+d+e+f+g = 25\\ 2.)\qquad b+f = 2(c+f)\\ 3.)\qquad a-1 = d+e+g\\ 4.) ... $$

Die vierte Gleichung und das Lösen des LGS überlasse ich erstmal dir, aber ich gebe dir noch drei Tipps:

- Die Variablen d,e,g kommen nur in Gleichung (1) und (2) vor und beides Mal als einfache Summe. Zudem ist nach diesen Zahlen nicht gefragt, also substituiere \(x= d+e+g\) in beiden Gleichungen, damit es etwas übersichtlicher wird.

- Auch nach der Substitution bleiben noch 5 Variablen bei nur 4 Gleichungen, daher gibt es hier unendlich viele Lösungen, allerdings nur eine, in der alle Variablen natürliche Zahlen sind.

- Zur Kontrolle: \(a=8\)