Antwort mit KI erzeugt
Inklusion/Exklusion Prinzip
Das Prinzip von Inklusion und Exklusion hilft uns dabei, die Anzahl der Elemente in der Vereinigung mehrerer Mengen zu berechnen, indem es Überlappungen methodisch berücksichtigt oder ausschließt. Um die Gesamtzahl der gewünschten Kombinationen zu berechnen, wo 3 aus 6 Farben nicht auftreten dürfen, verwenden wir dieses Prinzip.
Angenommen, wir haben 6 Farben: A, B, C, D, E, F. Und es wird verlangt, dass 3 dieser Farben nicht in den Würfen vorkommen dürfen. Es gibt \( \binom{6}{3} \) Möglichkeiten, 3 Farben aus den 6 zu wählen, die nicht auftreten dürfen.
Lösung der Aufgabe
a)
Lösung des Problems:
Um die gewünschte Situation zu betrachten, wo genau 3 Farben aus den verbleibenden 3 Farben ausgewählt werden (da die anderen 3 nicht auftreten dürfen), nutzen wir die Tatsache, dass die Ordnung der Farben irrelevant ist. Dies bedeutet, dass wir mit Kombinationen ohne Wiederholung arbeiten.
Es gibt insgesamt \( \binom{6}{3} = 20 \) Möglichkeiten, 3 Farben auszuwählen, die nicht auftreten dürfen.
Da nur 3 Farben verfügbar sind, aus denen wir wählen dürfen, und wir dies 3 Mal tun (jeder Wurf entspricht einer Auswahl), hat jeder Wurf 3 mögliche Ausgänge, die uns interessieren. Da die Reihenfolge nicht wichtig ist, aber Wiederholungen erlaubt sind (jede der verbleibenden Farben kann mehr als einmal gewählt werden), handelt es sich um eine Kombination mit Wiederholung. Die Formel für Kombinationen mit Wiederholung lautet \( \binom{n + r - 1}{r} \), wo \( n \) die Anzahl der Elemente zur Auswahl ist und \( r \) die Anzahl der gewählten Elemente. Für unser Problem ist \( n = 3 \) und \( r = 3 \), also haben wir:
\(
\binom{3 + 3 - 1}{3} = \binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = 10
\)
Dies ist die Anzahl der möglichen Farbkombinationen für eine 3-Farben-Auswahl aus den 3 erlaubten Farben.
b)
Formel:
Die allgemeine Formel, um die Anzahl der möglichen Kombinationen zu bestimmen, wenn \( x \) von \( n \) Farben nicht auftreten dürfen und \( r \) Mal gewürfelt wird, sieht so aus (unter der Annahme, dass \( n-x \) Farben übrig bleiben und die Würfe \( r \)-mal gemacht werden):
1. Wählen Sie \( x \) Farben, die nicht auftreten dürfen: \( \binom{n}{x} \)
2. Berechnen der Kombinationen aus den verbleibenden \( n-x \) Farben, mit \( r \) Würfen und Wiederholung: \( \binom{(n-x) + r - 1}{r} \)
Für unser spezifisches Problem mit \( n=6 \), \( x=3 \) und \( r=3 \):
- Schritt 1: Wählt 3 Farben aus, die nicht auftreten dürfen, was direkt zu \( \binom{6}{3} = 20 \) führt.
- Schritt 2: Benutzt die restlichen 3 Farben mit der Methode der Kombination mit Wiederholung, was zu \( \binom{3 + 3 - 1}{3} = \binom{5}{3} = 10 \) führt.
Die endgültige Antwort auf a) ist somit, dass es 10 verschiedene Farbkombinationen gibt, die mit den gegebenen Einschränkungen möglich sind.
