Zahlen in Teilbarkeitsterm finden.

Question

Aufgabe:

Für welche Zahlen ist a^3 + a^2 + 1 durch 3 teilbar? (a ∈ N)

Problem/Ansatz:

Ich kenne die Definition wann eine Zahl durch 3 teilbar ist. Nur verstehe ich nicht ganz wie ich an diesem Term zeigen kann, für welche Zahlen die Bedingung erfüllt wird.

Mein Ansatz bis jetzt wäre:

Aus der Modulo-Rechnung weiß ich ja damit a^3 + a^2 + 1 durch 3 teilbar ist, muss a^3 mod 3 = 0, a^2 mod 3 = 0 und 1 mod 3 = 0 gelten. Da aber 1 mod 3 = 0 nicht gilt, bin ich mir nicht sicher wie ich die Aufgabe anders angehen könnte.

Würde mich über jede Hilfe freuen.

Answer 1

Setze mal für a die Zahlen 1 bis 10 ein und prüfe welche der Zahlen durch 3 teilbar ist. Gibt es ein Muster? Kann man dieses Muster beweisen?

a^3 + a^2 + 1 ist durch 3 teilbar für a = 3·k + 1

Answer 2

(3k+1)³+(3k+1)²+1= 27·k³ + 36·k²  + 15·k + 3 =3·(9k³+12k²+5k+1)

Comments

Man sollte allerdings nicht vergessen zu zeigen dass 3k+0 und 3k+2 keine durch 3 teilbaren Zahlen erzeugen.

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Das ist wahr. Geht in Prinzip analog.

Answer 3

Ich vermute, dass es die Zahlen der Form 3k+1 mit k=0;1;2;3;... sind.


a³+a²+1=a²(a+1)+1

Wenn a=3k ist, ist a²(a+1) durch 3 teilbar, aber nicht a²(a+1)+1.

Wenn a=3k+2 gilt, ist a+1=3(k+1) ein Vielfaches von 3, aber nicht a²(a+1)+1.

Für a=3k+1 wird

a²(a+1)+1

=(3k+1)²(3k+2)+1=(9k²+6k+1)(3k+2)+1=27k³+36k²+15k+2+1

=3(9k³+12k²+5k+1)

Fertig!