Aufgabe:
benötige bitte Hilfe bei folgender Aufgabe.
Gegeben ist die Mannigfaltigkeit
$$M:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} | x^{2}+y^{2} \leq 1, x+y+z=1\right\}$$mit der Orientierung $$\mathbf{n}: M \rightarrow \mathbb{R}^{3}$$ mit negativer z-Komponente und der Funktion $$F(x, y, z)=\left(\begin{array}{c}{-y^3} \\ {x^3} \\ {3 \left(x^2+y^2\right)}\end{array}\right).$$
Berechnen Sie das Integral $$\int_{M}\left\langle\left(\begin{array}{c}{0} \\ {0} \\ {3\left(x^{2}+y^{2}\right)}\end{array}\right), \mathbf{n}(x, y, z)\right\rangle \mathrm{d} S$$ auf zweierlei Art, nämlich
$$\begin{array}{l}{\text { (a) direkt, indem Sie das Oberflächenintegral aufstellen und lösen, und }} \\ {\text { (b) durch Anwendung des Integralsatzes von Stokes. }}\end{array}$$
Problem/Ansatz:
Ich beginne mal mit (b): $$\mathrm{rot \ F} = \left(\begin{array}{c}{0} \\ {0} \\ {3 \left(x^2+y^2\right)}\end{array}\right)$$ Der Normalenvektor ist in der Aufgabe ja mit $$n = \left(\begin{array}{c}{0} \\ {0} \\ {-1}\end{array}\right)$$ vorgegeben.
$$(\mathrm{rot \ F}) \cdot n = -3(x^2+y^2)$$
Also integriere ich nach dem Satz von Stokes über die Kreisscheibe A (Kreis in x-y-Ebene mit Radius 1) und erhalte:
$$ \int _ { A } (( \mathrm{rot \ F}) \cdot n )\ d S = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 }\left[-3(r^2 (\cos(\varphi))^2+r^2 (\sin(\varphi))^2) \cdot r\right]\ d r d \varphi = -3 \pi $$
Kann ich das so machen, oder hab ich mich vertan?
Danke schonmal ;)
