Aloha :)
zu a) Wegen \(x^2+y^2+z^2=4\) handelt es sich um die Oberfläche einer Kugel mit Radius \(r=2\) und dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt. Wegen \(z\ge0\) existiert nur die obere Halbkugel dieser Oberfläche.
zu b) Der geschlossene Rand \(\partial S\) ist die Kreislinie mit Radius \(r=2\), die vollständig in der \(xy\)-Ebene liegt (\(z=0\)). Zuf Berechnung des Integrals \(\int_{\partial S}F\,d\vec r\) bietet sich daher der Stoke'sche Satz an.
zu c) An Stelle des unangenehmen Integrals über den Rand \(\partial S\) von \(S\) nutzen wir den Stokes'schen Satz und bestimmen zunächst die Rotation des Vektorfeldes \(\vec F\):
$$\operatorname{rot}\vec F(x;y;z)=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\sin(x)+x\\\cos(y)+x\\e^z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$
Die einfachste Fläche, die von dem Kreisring \(\partial S\) vollständig umschlossen wird, ist die Kreisfläche in der \(xy\)-Ebene. Für sie wählen wir Polarkoordinaten zur Darstellung:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;2]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Ihr Flächenelement liegt parallel zur \(z\)-Achse, denn:$$d\vec f=\frac{\partial\vec r}{\partial r}\times\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\,dr\,d\varphi=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\,dr\,d\varphi=\begin{pmatrix}0\\0\\r\end{pmatrix}dr\,d\varphi$$Da \(\partial S\) positiv orientiert sein soll, zeigt das Flächenelement in Richtung der positiven \(z\)-Achse, also nach oben.
Damit lautet das gesuchte Integral mit Hilfe des Satzes von Stokes:$$I=\int\limits_{\partial S}\vec F\,d\vec r=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\r\end{pmatrix}dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^2r\,dr\cdot\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi=2\cdot2\pi=4\pi$$
