Aufgabe:
Diesmal keine konkrete Aufgabe, einfach nur einige allgemeine Verständnisfragen zum Satz von Stokes.
Der Satz von Stokes besagt ja, dass ich den Fluss der Rotation über eine Fläche (das vektorielle Flächenintegral des Satzes) auch ausdrücken kann, indem ich eine Kurve finde, die den Rand von dieser Fläche bezüglich des Normalenvektors positiv parametrisiert darstellt und dann das Vektorfeld entlang dieser Kurve integrieren (das vektorielle Kurvenintegral des Satzes).
Nun habe ich beispielsweise Aufgaben gesehen, bei denen ein Vektorfeld und ein Zylinder gegeben sind. Hier war der Zylinder oben offen, das heißt kein "Deckel". Für den Satz von Stokes müsste ich doch in diesem Beispiel den oberen Rand des Zylinders parametrisieren und das positiv bezüglich des Normalenvektors. Die Frage die ich mir dann stelle, ist: Der Zylinder ist doch aus zwei Grundflächen aufgebaut, Mantelfläche und kreisförmige Grundfläche. Der Normalenvektor der Mantelfläche zeigt radial nach außen, der der Bodenfläche in z-Richtung nach unten. Auf welchen Normalenvektor muss ich mich dann für meine Kurve beziehen?
Ein anderes Beispiel wäre obiger Zylinder, aber ohne Boden und ohne Deckel. Dann hat dieser Körper doch eigentlich zwei Ränder? Muss ich den Satz von Stokes dann auf beide Ränder anwenden und die Integrale addieren? Außerdem: Woher soll ich wissen, wie ich meine Kurven der beiden Ränder zu parametrisieren habe, wenn der Normalenvektor, der Mantelfläche nach außen zeigt, parallel zu diesen beiden Flächen ist?
Dann noch ein drittes Beispiel: Eine Kugel / ein Ellipsoid sind gegeben. Wie soll man den Satz von Stokes auf diese Körper anwenden? Eine Kugel hat doch keinen Rand, den ich parametrisieren kann?
Ich hoffe, jemand kann mir bei diesen fundamentalen Verständnisfragen behilflich sein. Im Internet findet man leider immer weniger Erklärungen für Dummies, je weiter man in die Ingenieurmathematik einsteigt. Vielen Dank!
