Gegeben sind die Vektoren: a, b, c, berechnen Sie die Vektoren x,y,z.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren \( \underline{a}=\left[\begin{array}{c}{1} \\ {-2} \\ {2}\end{array}\right], \underline{b}=\left[\begin{array}{c}{1} \\ {-4} \\ {8}\end{array}\right], \underline{c}=\left[\begin{array}{c}{0} \\ {12} \\ {-5}\end{array}\right] \) Berechnen Sie die Vektoren : \( \underline{x}, \underline{y}, \underline{z} \) mit
a) \( \underline{x}=\|\underline{a}\| \cdot \underline{{b}}+\|\underline{b}\| \cdot \underline{c}+\|\underline{{c}}\| \cdot \underline{a} \)
b) \( \underline{y}=\langle\underline{b}-2 \underline{a}, \underline{a}+\underline{c}\rangle \cdot \underline{a} \)
c) \( \underline{z}=(\underline{a} \times \underline{b}) \times(\underline{c} \times \underline{g}) \)

Problem/Ansatz:

Kann einer helfen bei der Aufgabe? Muss ich jetzt einfach bei bspw. Aufgabe a), die Beträge von a, b , c ausrechnen und diese dann mit den Vektoren multiplizieren ?

Answer 1

Aloha :)

$$\vec a=\left(\begin{array}{c}1\\-2\\2\end{array}\right)   \quad;\quad   \vec b=\left(\begin{array}{c}1\\-4\\8\end{array}\right)  \quad;\quad   \vec c=\left(\begin{array}{c}0\\12\\-5\end{array}\right)$$

$$||\vec a||=\sqrt{1+4+4}=3$$$$||\vec b||=\sqrt{1+16+64}=9$$$$||\vec b||=\sqrt{0+144+25}=13$$$$\vec x=3\left(\begin{array}{c}1\\-4\\8\end{array}\right)+9\left(\begin{array}{c}0\\12\\-5\end{array}\right)+13\left(\begin{array}{c}1\\-2\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\\70\\44\end{array}\right)$$

$$\vec b-2a=\left(\begin{array}{c}1\\-4\\8\end{array}\right) - 2\left(\begin{array}{c}1\\-2\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\0\\4\end{array}\right)\quad;\quad\vec a+\vec c=\left(\begin{array}{c}1\\10\\-3\end{array}\right)$$$$\vec y=\left[\left(\begin{array}{c}1\\0\\4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\10\\-3\end{array}\right)\right]\left(\begin{array}{c}1\\-2\\2\end{array}\right)=-13\left(\begin{array}{c}1\\-2\\2\end{array}\right)$$

$$\vec a\times\vec b=\left(\begin{array}{c}1\\-2\\2\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}1\\-4\\8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\\-6\\-2\end{array}\right)$$$$\vec c\times\vec a= \left(\begin{array}{c}0\\12\\-5\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}1\\-2\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}14\\-5\\-12\end{array}\right)$$$$\vec z=\left(\begin{array}{c}-8\\-6\\-2\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}14\\-5\\-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}62\\-124\\124\end{array}\right)$$

Answer 2

Ja, genau das musst du bei a) tun (und dann die drei entstehenden Vektoren addieren).