Welche der folgenden Funktionen sind gerade und ungerade?

Question

Aufgabe:

Ich benötige Hilfe!

))

Wie rechnet man das ohne Differentialrechnung?
Problem/Ansatz:

Welche der folgenden Funktionen sind gerade und ungerade? Wie kann man das berechnen oder zeigen?

f1(x) = (2*sin(x^2 − 3) + 7*cos(3x^2 + 1))/(x^6 +5) 

f2(x) = sin(πx) + cos(πx)

Answer 1

Aloha :)

$$f_1(-x)=\frac{2\sin((-x)^2-3)+7\cos(3(-x)^2+1)}{(-x)^6+5}$$$$\phantom{f_1(-x)}=\frac{2\sin(x^2-3)+7\cos(3x^2+1)}{x^6+5}=f_1(x)$$Wegen \(f_1(-x)=f_1(x)\) ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse, also "gerade".

$$f_2(-x)=\sin(\pi(-x))+\cos(\pi(-x))=-\sin(\pi x)+\cos(\pi x)\ne\left\{\begin{array}{l}f_2(x)\\-f_2(x)\end{array}\right.$$Die Funktion \(f_2(x)\) ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse (dann wäre \(f_2(-x)=f_2(x)\)) noch punktsymmetrisch zum Ursprung (dann wäre \(f_2(-x)=-f_2(x)\)). Mit anderen Worten, \(f_2\) ist weder "gerade" noch "ungerade".

Comments

Danke dir:)))

Answer 2

Bei f1 kommt x nur in geraden Potenzen vor Da immer gilt (-x)^2 = x^2 ist diese Funktion achsensymmetrisch

Bei f2 ist sin(pi*x) punktsymmetrisch und cos(pi*x) achsensymmetrisch. Eine punktsymmetrische plus eine achsensymmetrische Funktion gibt hier weder Punkt- noch Achsensymmetrie. Sie hat daher keine Standardsymmetrie.