Zeigen, dass f: ℝ^2 → ℝ, (x, y) ↦ xy^3/ (x^2 + y^4) usw. stetig in (0,0) ist

Question

!

Gegeben sei die Funktion

f: ℝ^2 → ℝ, (x, y) ↦ xy^3/ (x^2 + y^4), (x, y) ≠ (0,0),  | EDIT: Klammern um Nenner nachträglich ergänzt

                                0,                       (x,y) = (0,0).

Ich soll nun zeigen, dass f stetig in (0,0) ist. Soweit ich weiß, zeigt man Stetigkeit ja dadurch, dass rechtsseitiger Limes = linksseitiger Limes. Aber ich weiß nicht wie das hier funktionieren soll. Wenn ich 0 für x und y einsetze kommt natürlich immer 0 raus, aber ich fürchte so einfach ist das nicht.

Wäre über Hilfe sehr dankbar!

Answer 1

\(\displaystyle |f((x,y))-f((0,0))|=|\frac{xy^3}{x^2+y^4}-0|=|\frac{xy^3}{x^2+y^4}|\leq|\frac{xy^3}{2xy^2}|=\frac{|y|}2\leq\frac{\|(x,y)-(0,0)\|_2}2\)

Falls dir die Abschätzungen nicht klar sind, kannst du gerne nachfragen.

Comments

vielen Dank für die Hilfe! Kurze Nachfrage: wie bist Du auf I xy^3/2xy^2 I = IyI/2 gekommen?

---

So etwas nennt man (seit Klasse 5) "kürzen".

---

Das x kannst du kürzen. Zudem gilt \(\displaystyle\frac{y^3}{y^2}=y^{3-2}=y\). Die 2 bleibt im Nenner stehen. Den Betrag kannst du auf Zähler und Nenner "aufteilen", also \(\displaystyle |\frac y2|=\frac{|y|}{|2|}=\frac{|y|}2\), da die 2 immer positiv ist.

---

Könntest du vlt die erste Abschätzung erklären von (xy^3)/(x^2 + y^4) auf (xy^3)/(2xy^2)?^^

---

Es gilt \(\displaystyle (x-y^2)^2\geq0\).

\(\displaystyle\Leftrightarrow x^2-2xy^2+y^4\geq0\) (binomische Formel)

\(\displaystyle\Leftrightarrow x^2+y^4\geq2xy^2\)

\(\displaystyle\Leftrightarrow\frac1{x^2+y^4}\leq\frac1{2xy^2}\)

Nun mit \(\displaystyle xy^3\) multiplizieren und es steht da.

---

ahh danke, das ist sehr verständlich :) noch eine andere Frage, wie würde man zeigen, dass die Funktion

(yx^4 - xy^4)/(x^2 + y^2)^2 in (0,0) stetig ist, müsste man das dann auch durch abschätzen machen?

---

Das sollte auch durch Abschätzen möglich sein. Das Problem dabei ist meistens, die richtige Abschätzung zu finden.

Versuch mal mit \(\displaystyle(\sqrt x-\sqrt y)^2\) weiterzukommen.

---

dann käme ich auf x + y > 2\( \sqrt{xy} \), aber ich weiß nicht inwiefern mir das weiterhilft :( , ich habs mit (x - y)^2 versucht und kam letztendlich auf:

\( \dfrac{yx^4-xy^4}{(x^2 + y^2)^2} \) ≤ \( \dfrac{yx^4-xy^4}{(2xy)^2} \) ≤ \( \dfrac{yx^4-xy^4}{4x^2y^2} \) =  \( \dfrac{x^2}{4y} \) -  \( \dfrac{y^2}{4x} \) , ich weiß aber nicht ob das so richtig wäre, wie könnte ich denn mit (\( \sqrt{x} \) -  \( \sqrt{y} \) )^2 weiterkommen?^^'

---

Das würde zu \(\displaystyle\frac{yx^4-xy^4}{(x^2+y^2)^2}\leq\frac{yx^4-xy^4}{2xy}=\frac12(x^3-y^3)\) führen. Hier hört es bei mir aber auch auf, da ich selbst noch dieses Thema studiere ^^ Meine Idee wäre, da \(\displaystyle(x,y)\rightarrow(0,0)\), dass obige Differenz gegen 0 geht und mit Schubfachprinzip \(\displaystyle|f((x,y))-f((0,0))|\rightarrow0\) geht. Aber das ist mit Vorsicht zu genießen. Eventuell kann jemand anderes weiterhelfen. Vielleicht kommst du mit einer anderen Abschätzung direkt weiter, aber diese sehe ich jetzt nicht.

Answer 2

gehe zu Polarkoordinaten über und zeige, dass f gegen 0 strebt, wenn x,y -> (0,0),also r -> 0

Answer 3

Du hast Folgendes eingegeben:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=xy%5E3%2Fx%5E2+%2B+y%5E4

Wenn du Folgendes meinst https://www.wolframalpha.com/input/?i=xy%5E3%2F%28x%5E2+%2B+y%5E4%29

musst du um den Nenner Klammern eingeben.

Comments

Habe die Klammerung vergessen. Danke für die Hilfe! =)

---

Habe die Klammern nun oben ergänzt.

| EDIT: Klammern um Nenner nachträglich ergänzt

kann dort entfernt werden, falls jc2144 auch bereits mit dieser Klammer gerechnet hat.

Ähnliche ältere Frage mit anderen Zahlen übrigens hier https://www.mathelounge.de/623594/zeigen-sie-dass-f-mit-bruch-in-0-0-nicht-stetig-ist