Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Normalform z = x + iy und berechnen Sie ihre absoluten Beträge:

Question

Aufgabe:

Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Normalform z = x + iy und berechnen Sie ihre absoluten Beträge:

\( \left(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3} \)

\( (1+i)^{n}+(1-i)^{n} \)

\( \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2} \)

Answer 1

Aloha :)

$$\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\right)^3$$$$=\left(-\frac{1}{2}\right)^3+3\left(-\frac{1}{2}\right)^2\left(i\frac{\sqrt3}{2}\right)+3\left(-\frac{1}{2}\right)\left(i\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(i\frac{\sqrt3}{2}\right)^2$$$$=-\frac{1}{8}+3\cdot\frac{1}{4}\cdot i\frac{\sqrt3}{2}-3\cdot\frac{1}{2}\cdot \underbrace{i^2}_{=-1}\cdot\frac{3}{4}+\underbrace{i^3}_{=-i}\cdot\frac{3\sqrt3}{8}$$$$=-\frac{1}{8}+i\cdot\frac{3\sqrt3}{8}+\frac{9}{8}-i\frac{3\sqrt3}{8}$$$$=1$$

$$(1+i)^n+(1-i)^n$$$$=\left(\sqrt{1+1}\cdot e^{i\arctan(\frac{1}{1})}\right)^n+\left(\sqrt{1+1}\cdot e^{i\arctan(\frac{-1}{1})}\right)^n$$$$=\left(\sqrt{2}\cdot e^{i\pi/4}\right)^n+\left(\sqrt{2}\cdot e^{-i\pi/4}\right)^n$$$$=(\sqrt2)^n\cdot e^{in\pi/4}+(\sqrt2)^n\cdot e^{-in\pi/4}$$$$=2^{n/2}\left(\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)+i\,\sin\left(\frac{n\pi}{4}\right)+\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)-i\,\sin\left(\frac{n\pi}{4}\right)\right)$$$$=2^{n/2}\cdot 2\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)$$$$=2^{n/2+1}\cdot\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)$$

$$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^2=\left(\frac{-i^2+i}{1-i}\right)^2=\left(\frac{i(1-i)}{1-i}\right)^2=i^2=-1$$

Comments

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Ergebnis	2	0	-4	-8	-8	0	16	32	32

 Das ist die Wertetabelle zur 2. Aufgabe. Wolframalpha sei Dank.  ;-)

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cos(nπ/4) kann ja fünf Werte annehmen, nämlich 0, ±1 und ±0.5√2. In Kombination mit der Zweierpotenz bekommt man immer ganze Zahlen.

Answer 2

Tipp: Wandle die vorkommenden Zahlen erst in die Polarform um, dann kannst du leichter potenzieren.

1.)

\(z_1=-\dfrac{1}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \longrightarrow r=1; \theta=120°=\frac{2\pi}{3}\)

\(z_1^3 \longrightarrow r=1; \theta=3\cdot 120°=360°=2\pi \)

Also: \(\left(-\dfrac{1}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3=1\)

2.)

\(1+i\longrightarrow r=\sqrt2 ; \theta=45°\)

\(1-i\longrightarrow r=\sqrt2 ; \theta=-45°=315°\)

...

3.)

Erweitere mit \(1+i\).

...

Comments

Ey, du tippst viel zu schnell... ;)