Question

Seien a, b ∈ R. Zeigen Sie, dass die Vektoren (1, a) und (1, b) im R² genau dann linearunabhängig sind, wenn a ≠ b gilt.

Answer 1

\(\begin{pmatrix} 1\\a \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\b \end{pmatrix}\) linear unabhängig

\(\Leftrightarrow\begin{vmatrix}1&1\\a&b\end{vmatrix}= 1\cdot b-1\cdot a = b-a \ne 0\)

\(\Leftrightarrow a\ne b\)

Answer 2

Aloha :)

Wenn du \(n\) Vektoren mit jeweils \(n\) Komponenten als Spalten oder als Zeilen in eine Determinante schreibst, dann liefert die Determinante immer das "Volumen", das von diesen \(n\) Vektoren im \(n\)-dimensionalen Raum aufgespannt wird. Wenn die \(n\) Vektoren voneinander abhängig sind, spannen sie kein volles "Volumen" auf, sodass die Determinante \(=0\) wird.

In deinem konkreten Fall ist \(n=2\) und das von den beiden Vektoren aufgespannte "Volumen" ist:

$$\left|\begin{array}{c}1 & 1\\a & b\end{array}\right|=1\cdot b-1\cdot a=b-a$$Für \(a\ne b\) ist das aufgespannte "Volumen" (also hier die Fläche) \(\ne 0\), sodass die Vektoren dann linear unabhängig voneinander sind.