Aufgabe:
Sei \( (\Omega, Α, \mu) \) ein Maßraum und \( f:\Omega \rightarrow[0,\infty] \) eine messbare Funktion mit \( \int_\Omega fd\mu < \infty \).
Zeigen Sie dass \( f^{-1}({\infty}) \) eine Nullmenge und \( {x \in \Omega |f(x) \neq 0} \) \( \sigma \)-endlich ist.
Problem/Ansatz:
Ich habe mir überlegt, ein Widerspruchbeweis zu führen. Mit der Annahme $$f^{-1}$$ sei keine Nullmenge. Dann kann ich ja zeigen, dass $$\mu (f^{-1}({\infty})) >0$$. Über ein $$A_k$$ aus $$\Omega$$ zeige ich dann, dass folgt $$\int_\Omega fd\mu = \infty$$. Was ein Widerspruch wäre.
Irgendwie gefällt mir dieser Beweisansatz aber nicht, ich kann nicht genau sagen, was ,ich daran stört. Gibt es eine elegantere Lösung?
