Scheitelpunktform am Beispiel f(x) = -7x2 + 42x + 13.
Im Allgemeinen lautet die Scheutelpunktform
f(x) = a(x-d)2 + e.
Den Teil (x-d)2 kann man mit binomischer Formel ausmultiplizieren um die Normalform zu bekommen (das ist die Form, die du vorliegen hast).
Bei der Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform muss man also die binomische Formel in die andere Richtung anwenden, also mit der binomischne Formel faktorisieren.
Dazu:
- Etwaige Koeffizienten vor dem x2 ausklammern
f(x) = -7(x2 - 6x) + 13
- Quadratische Ergänzung hinzufügen. Das ist notwendig, weil zwar a2 - 2ab + b2 mit binomischer Formel zu (a-b)2 zusammengefasst werden kann, aber in dem Teilterm x2 - 6x das b2 fehlt.
f(x) = -7(x2 - 6x + 32 - 32) + 13
Die +32 ist die quadratische Ergänzung. Die -32 muss hinzugefügt werden, weil sonst die Funktionsterme icht mehr gleichwertig sind.
- Mit binomischer Formel faktorisieren.
f(x) = -7((x-3)2 - 32) + 13
- Ausmultiplizieren
f(x) = -7(x-3)2 - (-7)·32 + 13
- Weiter zusammenfassen
f(x) = -7(x-3)2 +76
ob mann immer bei jeder funktion das gleiche machen muss um auf die Scheitelpunkt Form zu kommen
Nein, es ist immer anders. In meinem Beispiel habe ich eine -7 ausgeklammert. Das wird in deiner ersten Aufgabe nicht zum Ziel führen. Stattdessen kannst du dort auf den ersten Schritt komplett verzichten, weil vor dem x2 kein Koeffizient steht. In deiner zweiten Aufgabe hilft Ausklammern von -7 ebenfalls nicht. Da solltest du stattdessen -3 ausklammern.
