Zeigen Sie, dass {e1, e2, . . .} linear unabhängig ist.

Question

Sei ℝ^ℕ der ℝ-Vektorraum der reellen Folgen. Für i∈ℕ bezeichne

                               e_i := (...,0,1,0,...) ∈ ℝ^ℕ

diejenigen Folge, deren i-ter Eintrag gleich 1 und alle anderen Einträge gleich 0 sind.

(a) Zeigen Sie, dass {e₁, e₂, . . .} linear unabhängig ist.

(b) Zeigen Sie, dass {e₁, e₂, . . .} kein Erzeugendensystem von ℝ^ℕ ist,

Answer 1

\( \sum\limits_{i=0}^{\infty}{λi ei} \) =0 ⇒ 1. Zeile: λ₀=0, 2. Zeile: λ₁=0, .... ⇒ lt. Def.: {e0, e1, . . .} linear unabhängig

                                   λ_i e_i

Comments

Allein Aufgabenteil b) sollte dir schon zeigen, dass das hier Quatsch ist.

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Sieht deine Antwort etwa so aus, wie du dir das vorgestellt hast?

Was bedeutet die zweite Zeile?

Answer 2

(a) zu zeigen  : Seien für alle n∈ℕ   a_n aus ℝ mit

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n}*e_{n} = 0 $$

Dabei ist 0 die Folge, die aus lauter 0en besteht.

Also gilt für jedes n∈ℕ auch a_n*1 = 0

also sind alle a_n = 0 .

==>   {e1, e2, . . .} linear unabhängig.

Comments

(b) Die konstante Folge aus lauter 1en kann nicht als Linearkombination der

e_i dargestellt werden, da in einer Linearkombination immer nur

endlich viele Koeffizienten ungleich 0 sein können.

Answer 3

(a) Die Matrix aus den e_i hat auf der Diagonalen nur 1en stehen, alle anderen Elemente sind 0. Die Determinante jeder abgeschnittenen Matrix ist also 1·1·1·1·1·1·...=1≠0. Also sind die Vektoren linear unabhängig.

Comments

Die Matrix ..

Wenn das als Beweis durchgehen soll, dann schreib wenigstens "Jede abgeschnittene Matrix.."

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Dass das kein mathematischer Beweis ist, ist mir klar. Ich versuche nur im Rahmen meiner Möglichkeiten Denkanstöße zu geben.