Äquivalenz von Aussagen: Vektoren sind linear unabhängig

Question

ich muss für die Uni bei einem Übungszettel folgende Aufgabe bearbeiten und zeigen, dass für zwei Vektoren v,w ∈ R³ sind die folgenden Aussagen äquivalent: 

1) Sind c,d ∈ R mit c * v + d * w = 0, so folgt c = d = 0, d.h. v und w sind linear unabhängig. 
2) v ≠ 0 und es gibt kein c ∈ R mit w = c * v
3) w ≠ 0, und es gibt kein c ∈ R mit v = c * w 

v,w,0 sind Vektoren. 

Vielen Dank vorab!

Answer 1

1) ==> 2)   Wenn 1) gilt ist jedenfalls v≠0 ; denn ansonsten würde

ja c * v + d * w = 0 möglich sein mit  c≠0

und gäbe es c ∈ R mit w = c * v , dann wäre

c*v - 1*w =0  , also  c * v + d * w = 0 möglich mit d=-1.

2) ==> 3)  Wenn 2) gilt ist sicherlich auch w≠0, denn

sonst gäbe es ein c (nämlich c=0) mit w = c*v.

Und gäbe es ein c ∈ R mit v = c * w  , dann

ist wegen v≠0 jedenfalls   c≠ 0 und damit

wäre  v * (1/c) = w  im Widerspruch zu 2).

3) ==> 1)  Wenn 3) gilt und man hat

 c * v + d * w = 0 also  c*v = -d*w

dann ist wegen w≠0 jedenfalls c≠0

also  v = (-d/c)*w im Widerspruch zu 2).

q.e.d.