Äquivalenz zweier Aussagen zeigen

Question

ich soll die Äquivalenz zweier Aussagen zeigen:

1. X, Y, Z sind linear unabhängig

2. X x Y, Y x Z, Z x X sind linear unabhängig

einen Ansatz habe ich bisher noch nicht. Nur einige Informationen hab ich zusammengetragen:

unabhängig, dann x+y+z=0,

wenn x und y linear abhängig, dann X x Y =0

wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte!!

Answer 1

Ich würde da erst mal so rangehen (vielleicht als Ansatz):

Äquivalenz heißt ja, dass \(A_1\Leftrightarrow A_2\) , also \((A_1\Rightarrow A_2) \wedge  (A_1\Leftarrow A_2)\).

"\(\Rightarrow\)":
Lineare Unabhängigkeit von \((x,y,z)\) bedeutet per übliche Definition für lineare Unabhängigkeit, dass \(\lambda_1 x + \lambda_2 y + \lambda_3 z = 0 ~~\Rightarrow ~~ \lambda_i = 0~~~~\) - "Alle \(\lambda\)s müssen Null werden."

Zu zeigen ist die lineare Unabhängigkeit für \((x\times y~,~ y\times z~,~ z\times x)\), ob also \(\mu_1( x\times y) + \mu_2( y\times z) + \mu_3( z\times x) = 0 ~~\Rightarrow ~~ \mu_i = 0~~~~\). Das müsste jetzt eigentlich sofort aus der Definition für \(\times\) folgen...

"\(\Leftarrow\)":

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