Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden Aussagen:

Question

Aufgabe:

(a) Sei (an) eine reelle Zahlenfolge. Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden Aussagen:
• Die Folge (an) ist konvergent.
• Die Teilfolgen (a2n), (a2n+1) und (a3n) sind konvergent.
Hinweis: Überlegen Sie, ob die Teilfolgen gemeinsame Elemente haben.
(b) Gilt die Äquivalenz in Aufgabenteil (a) auch dann, wenn nur zwei der drei Teilfolgen konvergent sind?

Hilfe wäre toll :)

Answer 1

für die hinrichtung im skript blättern, da dürfte was stehen, dass wenn die folge konvergiert auch die teilfolgen konvergieren

für die rückrichtung nehme jeweils (a_3n) und eine der anderen teilfolgen und guck dir an welche gemeinsame teilfolge sie jeweils haben und wohin alle konvergieren. wegen der eindeutigkeit des grenzwertes kannst du dann zeigen dass die teilfolgen den gleichen wert haben. da du dann gezeigt hast dass alle ungeraden und geraden teilfolgen ((a_2n) und (a_2n+1)) gegen den gleichen wert konvergieren, konvergiert die gesamte folge gegen den wert

für b) lasse eine der teilfolgen weg und schau was passiert: wenn du (a_3n) behältst kannst du erklären dass die begründung bei a) nicht mehr funktionieren würde, beim 3. fall betrachte zB (a_n)=(-1)ⁿ

lg pati