Zeigen Sie, dass die Menge B linear unabhängig ist und ein Erzeugendensystem von T1 bildet. Ist B eine Basis von T1?

Question

Gegeben sei die folgende Teilmenge des $\mathrm{C}^{3}$ :
$$T_{1}=\left\{\left(\begin{array}{l} {x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \end{array}\right) \in \mathrm{C}^{3} | x_{1}+x_{3}=x_{2}\right\} \subseteq \mathrm{C}^{3}$$
(a) Zeigen Sie, dass $T_{1}$ ein Teilraum des $C^{3}$ ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Menge
$$B=\left\{\left(\begin{array}{c} {i} \\ {i} \\ {0} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} {0} \\ {-i} \\ {-i} \end{array}\right)\right\}$$
linear unabhängig ist und ein Erzeugendensvstem von $T_{1}$ bildet. Let $\mathcal{B}$ eine Basis von $T_{1}$
(c) Bestimmen Sie die Dimension von $T_{1}$

wir haben in Ana 1 eine Hausaufgabe auf bekommen und ich komme an einer (bzw. den rot markierten Stellen) einfach nicht voran :(

Ich habe schon gezeigt, dass B linear unabhängig ist.
In unserem Tutorium haben wir nicht wirklich gesagt bekommen, wie man zeigt, dass Mengen Erzeugendensystem von Teilmengen sind.

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen und mir sagen/zeigen wie ich voran komme?

Answer 1

Erzeugendensystem heißt:

Jeder Vektor in T lässt sich als Lin earkombination der beiden Vektoren von B darstellen.

wenn also ein Vektor in T gegeben ist, dann erfüllt er ja die Bedingung

x1 + x3 = x2  sieht also so aus

( x1 ;  x1+x3  ; x3 )  =  x1* ( 1 ; 1 ; 0) + x3 * ( 0 ; 1 ; 1 )

= x1/i * ( i ; i ; 0) + x3/-i  * ( 0 ; -i ; -i  )

also kann man jeden Vektor von T als Lin.komb der Vektoren von B darstellen.

Damit ist B eine Basis und die Dimension = 2 .