Zeigen, dass die Vektoren ein Erzeugendensystem bilden? A=(-1,1,0), B=(3,0,4), C=(4,-1,4), D=(0,-2,0), E=(0,3,1)

Question

Wie zeige ich, dass diese Vektoren ein Erzeugendensystem bilden ?

Die Frage steht oben. Bin grade total verwirrt.

        -1            3              4                0              0

A)      1      B    0     C    -1       D     -2       E    3

         0             4             4                0              1

Wäre sehr nett, wenn ihr mir helfen könnt :)

Answer 1

Alleine die Vektoren A, D und E spannen einen 3 dimensionalen Raum auf.
Du kannst ein Vielfachen von D zu A und E addieren um so jeweils dort die y-Komponenten zu entfernen. Allgemein musst du Zeigen das

a * A + b * D + c * E jeden beliebigen Vektor des R^3 darstellen kann.

a * [-1, 1, 0] + b * [0, -2, 0] + c * [0, 3, 1] = [x, y, z]

Die Lösung die du bekommst sollte wie folgt lauten:

a = -x
b = - (x + y - 3·z)/2
c = z

Damit ist gezeigt das du mit A, D und E jeden Vektor des R^3 darstellen kannst.

Comments

wie bzw. warum spannen A,D,E einen 3 dimensionalen Raum auf? Wie kann man das bei anderen Aufgaben überprufen (welche Vektoren einen 3D-Raum aufspannen)?

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A=(-1,1,0), B=(3,0,4), C=(4,-1,4), D=(0,-2,0), E=(0,3,1)

Du kannst jeden Vektor als Linearkombination von A, B und D darstellen.

Nimm von B soviel das die Z-Koordinate stimmt. Von A addierst du soviel, dass auch die x-Koordinate stimmt und letztlich addierst du ein Viefaches von D sodass auch noch die y-Koordinate stimmt.