Ist B ein Erzeugendensystem der Menge T1

Question

Habe bewiesen, dass die gegebenen Vektoren der Basis B1 linear unabhängig sind. Nur wie muss ich vorangehen um zu zeigen dass es ein EZS ist?

Meine überlegung war es beide Vektoren mit Skalaren auszuschreiben. Nur kann es für den beide 3. Komponente keinen gemeinsamen Skalar geben. oder habe ich einen denkfehler?

Comments

> beide Vektoren mit Skalaren auszuschreiben.

Wie meinst du das?

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Angenommen mein B sei B= {(i,0,0)  ; (0,-2.1)}

Dann würde ich das ganze so ausschreiben.

Nebenbei, wie kann man gezielt auf Kommentar antworten?

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Sieht komisch aus. In der ersten Zeile stehen zwei zweielementige Mengen. In der zweiten Zeile behauptest du, diese Mengen seien gleich einer unendlichelementigen Menge.

> beide Vektoren mit Skalaren auszuschreiben.

Nach deinem Bild zu urteilen meinst du wohl "die Linearkombinationen von \( \mathcal{B} \) untersuchen". Das ist der richtige Ansatz.

> wie kann man gezielt auf Kommentar antworten?

Worauf würdest du dann zielen?

Answer 1

Seien \( a,b\in\mathbb{C} \). Dann ist \( \vec{v} := a\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix}i\\5i\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}bi\\5bi\\3a-4b\end{pmatrix} \). Offensichtlich ist \( \vec{v}\in T_1 \), also \( \mathrm{span}(\mathcal{B})\subseteq T_1 \).

Es ist \( \dim \mathbb{C}^3 = 3 \) und \( \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\notin T_1\subseteq \mathbb{C}^3\). Also ist \( T_1 \neq \mathbb{C}^3 \) und somit \( \dim T_1 < 3 \). Wegen \( \dim \mathrm{span}(\mathcal{B}) =2\) und \( \mathrm{span}(\mathcal{B})\subseteq T_1 \) muss also \( \mathrm{span}(\mathcal{B}) = T_1 \) gelten.