Aufgabe:
$$ \begin{array}{l}{\text { Gegeben ist die Menge E} \subseteq \mathbb{R}_{\leq 4}[x]} \\ {\qquad E:=\left\{x^{4}+x^{3}-1, x^{2}-x-1, x^{4}+x^{2}-x, x^{3}-2\right\}} \\ {\text { (a) Sind die Vektoren in E } \text { linear unabhängig? }} \\ {\text { (b) Zeigen Sie, dass M:=}\left\{x^{4}+x^{3}-1, x^{2}-x-1, x^{3}-2\right\} \subset E \text { ein Erzeugendensystem von span(E) ist.}} \\ {\text { (c) Bestimmen Sie eine Basis von span(E) } \text { und geben Sie die Dimension von span(E) an }} \\ {\text { an. }}\end{array} $$
Problem/Ansatz: Normalerweise bestimmen, wir EZS, Basis von Matrix, Vektor usw, deswegen bin ich hier bei einer Menge etwas verwirrt.
Also mein Ansatz
a) 1+2.Vektor=3+4.Vektor => linear abhängig, wenn ich das aber versuche zu beweisen mit dem Koeffizientenvergleich sind alle meine Koeffizienten 0? vielleicht habe ich mich auch einfach nur verrechnet
zu b) aus a folgt dann span(E) = (a1(x4+x3-1)+ a2(x2-x-1))
EZS ja da a1(x4+x3-1)+ a2(x2-x-1) + 0*(x3-2) = span(E)
zu c) Wäre dann die Basis nicht auch direkt {x^4+x^3-1,x^2-x-1,x^3-2} Dann hätten wir dim(span(E))=3, aber wir haben Polynome in E bis Grad 4, dann müsste doch die Basis dim(5) haben, bin total verwirrt wegen dieser Menge.
Vielen Dank für die Hilfe.