Aufgabe:
ich übe gerade das Thema Differentialgleichungen und frage mich, wie ich meine Lösung eines Differentialgleichungssystems kontrollieren kann. Ich zeige erstmal wie ich das bei einer einfachen Differentialgleichung mache:
\(y' = 3xy\)
\(\frac{dy}{dx} = 3xy\)
\(dy = 3xy \cdot dy\)
\(\frac{1}{y} \cdot dy = 3x \cdot dx\)
\(\int \frac{1}{y} \cdot dy = \int 3x \cdot dx\)
\(\ln{y} = \frac{3}{2} \cdot x^2\)
\(y = e^{\frac{3}{2} \cdot x^2}\)
Nun leite ich zur Kontrolle y ab:
\(y' = \frac{dy}{dx}(e^{\frac{3}{2} \cdot x^2}) = e^{\frac{3}{2} \cdot x^2} \cdot 3x\)
Und setze die es anschließend in die Gleichung ganz oben ein:
\(e^{\frac{3}{2} \cdot x^2} \cdot 3x = 3x \cdot e^{\frac{3}{2} \cdot x^2}\)
Nun das Differentialgleichungssystem:
\( y_1' = 2y_1 + 3y_2 \)
\( y_2' = 5y_1 + 4y_2 \)
Da habe ich die Eigenwerte \( \lambda_1 = -1, \lambda_2 = 7 \) raus.
Und komme damit auf die Eigenvektoren \( v_{\lambda_1} = (-t, t)^T , v_{\lambda_2} = (\frac{3}{5} t, t )^T \).
Die Lösung sieht dann so aus:
\( (y_1(t), y_2(t))^T = e^{-t} \cdot (-t, t)^T + e^{7t} \cdot (\frac{3}{5} t, t )^T \)
Wie mache ich nun die Kontrolle, ob meine Lösung stimmt?
