Koeffizienten a,b∈ℚ finden, so dass Polynom teilbar ist

Question

Aufgabe:

Für welche a,b∈ℚ ist das Polynom (X−1)² ein Teiler von f(X) :=aX³⁰+bX¹⁵+ 1?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe hier den Ansatz nicht.

Ich weiß allerdings, dass ich irgendwie damit arbeiten muss, dass 1 eine doppelte Nullstelle von (x-1)^2 ist.

Answer 1

Ich weiß allerdings, dass ich irgendwie damit arbeiten muss, dass 1 eine doppelte Nullstelle von (x-1)2 ist.
Und wenn es ein Teiler von  f(X) :=aX30+bX15+ 1? ist, muss 1

auch eine doppelte Nullstelle von f sein. Also insbesondere auch eine von f '.

==>  f(1)=0               und f ' (1) = 0

a+b+1 = 0        und    30a + 15b = 0

                                          b = -2a

  -a + 1 = 0

==>    a =1 und b= -2.